Нелинейные делители

16. Поведение простого степенного метода в случае, когда А имеет нелинейные элементарные делители, иллюстрируется рассмотрением случая, когда А — простая жорданова подматрица (гл. 1, § 7). Имеем

Ясно, что при член с начинает доминировать, но сходимость медленная, так как правую часть (16.1) можно записать в виде

и выражение в скобках имеет асимптотику

Начиная с произвольного вектора мы обязательно будем иметь сходимость к единственному собственному вектору но асимптотическая сходимость будет медленнее, чем сходимость, соответствующая случаю различных собственных значений, как бы плохо были они разделены. Асимптотическая скорость сходимости может, однако, ввести в заблуждение; если а мало, мы видим, что член с в (16.3) мал. Это тривиальное замечание важно в связи с обратными итерациями (§ 53). Возвращаясь к общему случаю, имеем

где С — жорданова каноническая матрица. Если доминирующее собственное значение А есть и ему соответствует один делитель степени и если первая жорданова подматрица в жордановой матрице С, то для произвольных таких, что не все первые компонент равны нулю. Следовательно,

Сходимость обычно слишком медленна для того, чтобы иметь практическое значение, но заметим, что компоненты в инвариантных подпространствах, соответствующих собственным значениям меньшим по модулю, уменьшаются в раз после итераций. Мы поэтому расстаемся с вектором, лежащим в подпространстве, соответствующем уже на сравнительно ранней стадии. Мы вернемся к нелинейным делителям в §§ 32, 41, 53.