Близкие собственные значения и малые

58. Из доказательств предыдущих параграфов мы видим, что собственный вектор предельной точности будет точным собственным вектором некоторой матрицы где есть малая матрица возмущения акая, что

причем некоторая медленно возрастающая функция от и, зависящая от типа используемой арифметики. Матрица вообще говоря, будет различной для каждого собственного значения. Предположим теперь, что С имеет два собственных значения разделенных величинои в то время как не малы. Тогда мы можем предположить, что получим приближения такие, что

где все порядка единицы. Другими словами, и будут соответственно испорчены значительными компонентами по и но незначительными компонентами по остальным Имеем

В общем случае не будут связаны и, следовательно, когда стремится к и два собственных значения становятся близкими, и будут, вообще говоря, отличаться от ортогональных все больше и больше.

Мы можем сравнить это с тем положением, которое возникает при нахождении собственных векторов трехдиагональной матрицы метбдом Якоби. В этом случае мы должны бы иметь

где снова некоторая медленно возрастающая функция от несколько большая, чем так как здесь несколько больше влияние ошибок округления. Однако из § 19 мы знаем, что будут «почти ортогональны» и, следовательно, почти равны по модулю и противоположны по знаку. Хотя при стремящемся к векторы и неизбежно становятся все более испорченными соответственно компонентами по это никоим образом не влияет на почти ортогональность.