Общие комментарии к анализу

50. Обратные итерации имеют следующие потенциальные слабости:

(i) Так как получены при помощи выбора главного элемента по существует некоторая опасность того, что элементы могут быть значительно большими, чем элементы А, и в этом случае не будут малыми. Как мы заметили в гл. 4, § 57, это сравнительно слабая опасность. Ее можно обойти, используя полный выбор главного элемента, или вообще устранить, выполняя приведение к треугольной при помощи матриц отражения. Я придерживаюсь мнения, что эта опасность незначительная (см. также §§ 54, 56).

(ii) Наш анализ не показал, что компонента на самом деле велика, он показал лишь, что велика если имеет составляющую по Заметим, что мы не можем показать, что велик, если не сделаем дополнительных предположений относительно расположения собственных значений. Если есть несколько собственных значений, очень близких к то большая величина может быть результатом наличия большой компоненты по любому соответствующему собственному вектору. Это неизбежная слабость; если существуют другие собственные значения, близкие к это означает, что х плохо обусловлен, и мы должны ожидать некоторых неприятностей из-за этого. Но мы можем показать, что не может содержать больших компонент по любому для которого — не мала. Действительно, приравнивая компоненты по в обеих частях (49.2), получаем

Если единственное собственное значение, близкое к то большая величина обязательно означает, что компонента по велика.

(iii) Если исходный вектор имеет очень малые компоненты по всем соответствующим близким к то ошибки округления могут помешать этим компонентам увеличиваться и мы можем никогда не достигнуть которого эти компоненты будут существенными. Такая ситуация возможна, но она крайне мало вероятна. По моему опыту, если близко к то начальный вектор, имеющий чрезвычайно малую компоненту по обычно имеет существенную компоненту уже после одной итерации.