Формальное доказательство сходимости

30. Сейчас мы дадим формальное доказательство сходимости в основном Сначала предположим, что собственные значения А таковы, что

Тогда необходимо имеет линейные элементарные делители, и мы можем написать

Определим матрицы соотношениями

где верхние треугольные, единичная нижняя треугольная, унитарная. Все четыре матрицы не зависят от То, что неособенная, следует из неособенности Заметим, что -разложение всегда существует, а разложение в произведение треугольных существует, только если все ее главные ведущие миноры не равны нулю. Мы имеем

и ясно, что есть единичная нижняя треугольная матрица. Ее -элемент равен при и следовательно, мы можем написать

Поэтому уравнение (30.4) дает

Матрицу можно разложить в произведение унитарной и верхней треугольной и так как стремятся к Следовательно, окончательно имеем

Первый сомножитель в скобках унитарный, а второй — это верхняя треугольная матрица. При предположении, что неособенная, ее разложение в такое произведение по существу единственно, и поэтому равна с точностью до умножения справа на диагональную унитарную матрицу. Следовательно, сходятся в основном к Если мы хотим, чтобы все имели положительные диагональные элементы, то можем найти унитарный диагональный множитель из (30.7). Написав

где унитарные диагональные матрицы, и имеет положительные диагональные элементы уже имеют положительные диагональные элементы), мы получим из (30.7)

Матрица в квадратных скобках верхняя треугольная с положительными диагональными элементами, и, следовательно, что показывает, что обязательно сходятся к