Формальное доказательство сходимости
30. Сейчас мы дадим формальное доказательство сходимости в основном 
Сначала предположим, что собственные значения А таковы, что
Тогда 
необходимо имеет линейные элементарные делители, и мы можем написать
Определим матрицы 
соотношениями
где 
верхние треугольные, 
единичная нижняя треугольная, 
унитарная. Все четыре матрицы не зависят от 
То, что 
неособенная, следует из неособенности 
Заметим, что 
-разложение всегда существует, а разложение 
в произведение треугольных существует, только если все ее главные ведущие миноры не равны нулю. Мы имеем
и ясно, что 
есть единичная нижняя треугольная матрица. Ее 
-элемент равен 
при 
и следовательно, мы можем написать
Поэтому уравнение (30.4) дает
Матрицу 
можно разложить в произведение унитарной 
и верхней треугольной 
и так как 
стремятся к 
Следовательно, окончательно имеем
Первый сомножитель в скобках унитарный, а второй — это верхняя треугольная матрица. При предположении, что 
неособенная, ее разложение в такое произведение по существу единственно, и поэтому 
равна 
с точностью до умножения справа на диагональную унитарную матрицу. Следовательно, 
сходятся в основном к 
Если мы хотим, чтобы все 
имели положительные диагональные элементы, то можем найти унитарный диагональный множитель из (30.7). Написав
где 
унитарные диагональные матрицы, и 
имеет положительные диагональные элементы 
уже имеют положительные диагональные элементы), мы получим из (30.7)
Матрица в квадратных скобках верхняя треугольная с положительными диагональными элементами, и, следовательно, 
что показывает, что 
обязательно сходятся к 
