Комплексные корни

60. Для комплексных собственных значений вещественной или комплексной матрицы уже нет удовлетворительных методов, обеспечивающих сходимость. Вообще говоря, кажется, что метод Лагерра имеет очень хорошие общие свойства сходимости, но Парлетт (1964) показал, что существуют простые полиномы, для которых некоторые начальные

значения приводят к повторяющимся циклам итераций. Он рассматривал функцию для которой

Если то Циклы возможны и во всех других методах, и, в частности, только методы Мюллера и Лагерра могут давать комплексные итерации, начиная с вещественных значений для вещественной функции. Дополнительная трудность заключается в том, что циклы могут вызваться плохой обусловленностью, а не фундаментальным срывом используемого метода. В таких случаях использование достаточно высокой точности вычислений ведет к прекращению циклов.

Трудно отрицать, что эти замечания являются серьезной критикой методов этой главы. Можно разочароваться в использовании методов, успех которых в большой степени кажется случайным, но надо помнить, что до сих пор нет других методов для общей проблемы собственных значений, которые гарантировали бы получение результата в приемлемое время. Наш опыт показал, что программы, основанные на методах этой главы, были очень эффективны и принадлежат к числу наиболее точных.