Умножение на плоское вращение

21. Рассмотрим теперь сложную операцию, которую определим следующим образом. Даны два числа с плавающей запятой и матрица А, имеющая стандартные элементы также с плавающей запятой; вычисляем приближенное вращение в плоскости и затем вычисляем

Для простоты записи рассмотрим сначала вычисление где а — вектор. Изменяются лишь те два элемента а, которые находятся в позициях Если мы напишем

то

Мы можем выразить это в виде

Используя оценки для и записывая

имеем

и опять множитель максимально возможный. Заметим, что это означает, что если очень малы по отношению к некоторым другим компонентам, то очень мало. Мы найдем, что это неверно для вычислений с фиксированной запятой. Из (21.3) и соотношения получаем

Это соотношение важно для последующего анализа.

Рассмотрение (20.11) и (21.5) показывает, что половина ошибки происходит от ошибок, сделанных при вычислении а другая половина — от ошибок, сделанных при умножении на вычисленную

Если вектор а есть вектор , из которого были получены элементы то на практике обычно не вычисляют и вместо этого компоненту берут равной компоненту — равной нулю. Выражение, определяющее компоненту, будет вычислено при нахождении

Два элемента поэтому суть

и нуль, и легко может быть проверено, что оценка (21.5) вполне пригодна в этом случае. Поэтому не стоит беспокоиться о специальном рассмотрении вектора х.

Наш результат немедленно распространяется на вычисление где А есть -матрица. Все столбцов преобразуются независимо, и мы имеем

где нулевая матрица, за исключением строк, и

Заметим, что это оценка для а не для Квадраты норм и 7-й строк заменяют в нашем анализе в случае вектора. Оценка (21.8) пригодна даже тогда, когда один из столбцов А является нашим вектором х и преобразуется специально.