Биортогонализация

40. Бауэр (1958) описал обобщение метода § 37, которое он назвал биортогонализацией. В нем могут быть одновременно найдены На каждом этапе рассматриваются две системы по векторов, являющиеся столбцами двух матриц Образуются матрицы

и по ним определяются две матрицы Столбцы этих матриц выбираются так, чтобы они были биортогональны. Уравнения, определяющие столбцы будут

где выбраны так, что

Очевидно, мы имеем

где единичные верхние треугольные матрицы с элементами Из биортогональности имеем

где диагональная. Если мы возьмем то получим

что

Следовательно,

что показывает, что единичная нижняя треугольная матрица совпадает с соответствующей матрицей в разложении в произведение двух треугольных. Мы знаем, что в -алгорифме это матрица, полученная при разложении в произведение треугольных, и, следовательно,

Результаты, полученные для -алгорифма, поэтому немедленно переносятся на метод биортогонализации. В частности, если различны, то стремятся к матрице, полученной при треугольном разложении X, и, следовательно, аналогично На практике столбцы нормируются на каждом этапе обычно так, что Следовательно, если все различны, Один шаг биортогонализации аналогичен в смысле сходимости двум шагам LR-алгорифма. Если некоторые из равны, то подпространства, натянутые на соответствующие столбцы стремятся к соответствующим инвариантным подпространствам. Если А — симметричная, то системы совпадают, и метод переходит в метод § 37, так как теперь лишь столбцы ортогонализуются на каждом шаге. Это соответствует тому, что для симметричной матрицы один шаг -алгорифма эквивалентен двум шагам -алгорифма.

Мы работали с матрицами состоящими из полных систем по векторов, с целью показать связь с LR- и -алгорифмами, но процесс может быть использован, если имеют любое число столбцов от 1 до Применяются те же соотношения, но теперь матрицы порядка. Процесс, вообще говоря, приведет к левым и правым собственным векторам (или к соответствующим инвариантным подпространствам).