Практическая процедура

29. Мы можем избежать срыва, а также обеспечить численную устойчивость, если возьмем в качестве столбцы но не обязательно в естественном порядке. Возьмем где некоторая перестановка

Способ, по которому определяется вероятно, лучше всего объяснить, если описать шаг. Пусть уже определены векторы имеет нули в позициях шаг состоит в следующем.

Вычисляем и вычитаем кратные так, чтобы аннулировать элементы соответственно. В результате получим вектор Если наибольший элемент находится в позиции то берем этот элемент в качестве будет Очевидно, что элементы вектора нули и что все отличные от нуля элементы ограничены единицей. Если равен нулю, то мы можем взять в качестве любой столбец матрицы ортогональный а в качестве произвольный вектор с единичной компонентой, также ортогональный

Очевидно, что образуют столбцы матрицы перестановок (гл. 1, § 40 (ii)). Уравнения (27.2) тогда станут

где не только нижняя треугольная, а единичная нижняя треугольная. Следовательно, имеем

или

т. е.

где А это подобное преобразование А с помощью матрицы перестановок, это С с переставленными строками.