Точность вычисленных собственных векторов

19. Мы были в состоянии получить удовлетворительные строгие априорные оценки для ошибок в собственных значениях, но не можем надеяться получить аналогичные оценки для собственных векторов. В общем случае их точность неизбежно будет зависеть от разделения собственных значений. Если мы напишем

то

где

Даже если бы мы могли вычислить точно, то она дала бы нам лишь собственные векторы матрицы

В действительности мы не можем получить точную матрицу Мы будем иметь лишь вычисленные вращения и будем делать ошибки при их перемножении. Если обозначить вычисленное произведение через то, как в гл. 3, § 25, с множителем для я, имеем

и снова, беря и предполагая разумное распределение ошибок, мы могли бы ожидать приблизительно такую оценку:

Поэтому вычисленная матрица будет очень близка к точно ортогональной матрице

Итак, мы получили оценку для отклонения от точной матрицы собственных векторов матрицы и уже имеем оценку для Оценки (19.4) и (19.5) не зависят от разделения собственных значений.

Даже когда матрица имеет несколько патологически близких собственных значений, соответствующие собственные векторы почти ортогональны, хотя они могут быть очень неточными; очевидно, что их линейная оболочка образует правильное подпространство и дает полную цифровую информацию. Возможно, что это самое хорошее свойство метода Якоби. Другие методы, которые мы опишем в этой главе, лучше метода Якоби по скорости и точности, но довольно утомительно получать ортогональные собственные векторы, соответствующие патологически близким или совпадающим собственным значениям.