Анализ ошибок для полной собственной системы

59. Если нам дано приближенное решение полной собственной системы, то при условии, что решение достаточно точное и собственная система не слишком плохо обусловлена, мы можем получить строгие оценки ошибок не только для данной собственной системы, но и для уточненной. Предположим, что и приближенные собственные значения и собственные векторы матрицы А. Мы можем написать

или, объединяя эти уравнения в матричную форму,

где матрицы соответственно со столбцами Итак,

так что А в точности подобна независимо от того, являются ли хорошими приближениями. Однако если хорошие приближения, то матрица будет иметь малые элементы. Если элементы матрицы которая есть решение уравнения

также малы, то правая часть (59.3) будет диагональной матрицей с малым возмущением. В гл. 2, §§ 14—25 мы показали, как свести проблему возмущения для общих матриц к проблеме для диагональных матриц, и большая часть этих параграфов была посвящена проблеме нахождения оценок для собственных значений матрицы вида где мала. Данные там методы могут быть сразу применены к матрице в правой части (59.3) и, как правило, они могут дать очень точные оценки для всех собственных значений, за исключением патологически близких.

Если нужно полностью реализовать их возможности, то существенно, чтобы были вычислены с некоторым вниманием. Матрица может быть получена точно на той машине с фиксированной запятой, которая имеет возможность накапливать скалярные произведения, но точное решение (59.4) — трудная задача. Это обсуждается детально в гл. 4, § 69. В общем случае, даже если задана точно, мы не сможем точно вычислить

Однако если мы предположим, что можем вычислить приближенное решение из (59.4) и дать оценку для элементов где

то мы имеем