Численный пример

14. В качестве простого численного примера модифицированного процесса мы взяли матрицу третьего порядка, которую Рутисхаузер (1958) использовал для иллюстрации случая, когда обычный процесс не сходится. Матрица ее собственные значения и матрицы равны

Ведущий главный минор X первого порядка равен нулю, и, следовательно, мы не можем быть уверены, что обычный процесс сходится, а если он сходится, то собственные значения будут расположены в правильном порядке. Элементы в этом случае расходятся, что легко проверить, используя результаты § 5.

В табл. 1 мы привели результаты, полученные на первых трех шагах обычного -процесса, из которых ясно видна форма

Таблица 1 (см. скан)

Табл. 1 дает также результаты, полученные при использовании трех шагов модифицированного процесса. Первый шаг показан детально. При приведении к треугольному виду первая строка переставлена второй. Это единственная перестановка. Следовательно, для получения из мы сначала переставляем первый и второй столбцы и затем последовательно умножаем на На следующих шагах перестановки не необходимы, так что мы используем обычный -алгорифм. Матрицы сходятся весьма быстро к верхней треугольной, и легко видеть, что это матрица, данная в конце таблицы.

Использование перестановок обеспеечило не только сходимость, но и размещение собственных значений на диагонали предельной матрицы в убывающем порядке.