Левое умножение на приближенное вращение с фиксированной запятой

31. Операция, рассмотренная в § 21, несколько проще при вычислениях с фиксированной запятой, и мы переходим немедленно к оценке без предварительного рассмотрения векторного умножения. Мы имеем

Нам нужно сделать несколько предположений относительно величины элементов для того чтобы работа с фиксированной запятой была осуществима. Будем предполагать, что -нормы А и всех полученных матриц ограничены единицей и будем исследовать значение этого предположения только тогда, когда анализ будет завершен (ср. § 22).

При левом умножении изменяются лишь строки, так что нулевая матрица всюду, за исключением этих строк. Если мы предполагаем, что используем операции, то имеем

Для операций оценки вдвое больше. Соотношения (31.2) — (31.4) показывают, что мы можем написать

где нулевая, за исключением строк в которых она имеет элементы, ограниченные по модулю числом Следовательно,

и (31.1) и (29.13) дают

Заметим, что оценка вклада в ошибку, происходящую от действительное умножения, содержит множитель тогда как вклад, возникающий из-за отклонения от не зависит от . В вычислении с плавающей запятой оба вклада были почти равны и оба независимы от Заметим также, что даже если строки целиком состоят из элементов, которые малы сравнительно с мы не получим более благоприятную оценку. Это существенно иной результат, чем тот, который мы получили для вычислений с плавающей запятой.

Если которые определяют вращение, суть элементы некоторого столбца соответственно строк то обычно не вычисляют новых значений этих двух элементов по формулам (31.2) и (31.3). Вместо этого берутся значения (ср. § 29) и нуль. Нетрудно видеть, что это неопасно. Два элемента в равны соответственно и нулю, и, следовательно, ошибки в этих позициях будут и нуль. Мы имеем

и, далее,

Ясно, что нам необходимо лишь изменить множитель в (31.8) с 1,71 на 2,21. Если, теперь возьмем

то специальный случай покрывается.