Нормы и пределы

55. Установим несколько простых критериев сходимости последовательностей матриц. Там, где результат немедленно следует из определения, доказательства опущены.

(A) тогда и только тогда, когда Если

Действительно,

(C) Если X — собственное значение А, то Действительно, мы имеем для некоторого отличного от нуля х. Следовательно, для любой согласованной пары матричной и векторной норм

и

Отсюда имеем

наибольшее собственное значение

тогда и только тогда, когда для всех собственных значений.

Это следует из рассмотрения жордановой канонической формы. Для типичной жордановой подматрицы имеем

и ясно, что эта матрица стремится к нулю тогда и только тогда, когда Обычно доказывают результат из хотя, если мы интересуемся лишь согласованными парами норм, доказательство, данное нами, более естественно. Величина

называется спектральным радиусом А. Мы видели, что

Ряд сходится тогда и только тогда, когда

Достаточность этого условия следует из Действительно, если оно выполнено, то все собственные значения А лежат в единичном круге, и, следовательно, неособенная. Соотношение

выполняется тождественно, так что

Второй член в правой части стремится к нулю, и поэтому

Необходимость условия очевидна.

(F) Для того чтобы ряд сходился, достаточно, чтобы какая-либо из норм А была меньше единицы.

Действительно, если это так, то мы имеем из (С)

для всех собственных значений. Следовательно, в силу и потому в силу ряд сходится.

Заметим, что существование такой нормы, что может не препятствовать сходимости ряда. Например, если

то так как ее собственные значения равны 0,9 и 0,8.

При попытках установить сходимость ряда на практике мы свободны в выборе наименьшей нормы.

(G) Для того чтобы ряд из сходился, достаточно, чтобы какая-либо норма любого преобразования подобия А была меньше единицы. Действительно, если то

Ряд справа сходится, если

Мы можем использовать преобразование подобия для получения матрицы, у которой одна из наших стандартных норм меньше, чем у исходной матрицы. Дня матрицы, данной в мы можем взять

и тогда

Рассмотрим более убедительный пример

Имеем Определим

Мы видим, что так что ряд из А сходится. Преобразование подобия с диагональной матрицей часто играет большую роль в анализе ошибок.