Определители матриц Хессенберга

11. Наконец, мы рассмотрим вычисление для фиксированного значения z, когда А — верхняя матрица Хессенберга. Снова находим, что это можно сделать, используя простые рекуррентные соотношения, которые выводятся следующим образом (Химан, 1957). Положим

и обозначим столбцы через Предположим, что мы можем найти скаляры такие, что

т. е. такие, что левая часть имеет нулевыми все компоненты, кроме первой. Тогда очевидно, что определитель матрицы полученной из заменой последнего столбца на равен определителю Следовательно, раскладывая определитель по последнему столбцу, получим

Элементы играют специальную роль. Мы подчеркнем это, используя обозначение

Из уравнения (11.2) можно последовательно вычислить приравнивая элементы обеих сторон. Тогда

где Окончательно, приравнивая первые компоненты, находим

Определитель отличается от к лишь на постоянный множитель, и, следовательно, можно ограничиться нахождением корней к . В каждом вычислении приблизительно — умножений. Если все поддиагональные элементы равны единице, то можно вычислять без использования деления. Мы видели в гл. 6, § 56, что если мы работаем с плавающей запятой, довольно удобно получать верхние матрицы Хессенберга, специализированные таким образом. Однако мы не будем делать никаких предположений о кроме того, что они не равны нулю. Если какой-либо из равен нулю, можно работать с матрицами Хессенберга более низкого порядка.

Значения производных можно также получать при помощи подобных рекуррентных соотношений. Дифференцируя (11.5) и (11.6) по z, получим

и так как имеем Существуют подобные соотношения и для вторых производных. Производные удобно поэтому вычислять одновременно с самими функциями.