Окончательная оценка метода Крылова
6. Анализ предыдущего параграфа завершает оценку, сделанную в гл. 6, § 25, о степени эффективности метода Крылова в применении к матрицам с различными расположениями собственных значений, приведенными в § 5. При расположении (i) использование 62 двоичных знаков в нормализованном методе Крылова абсолютно недостаточно. Нули вычисленного характеристического полинома не имеют никакого отношения к собственным значениям исходной матрицы. Несмотря на это, для тесно связанного расположения (ii) вычисленный характеристических! полином значительно более точен и, более того, значительно лучше обусловлен.
Мы видели в гл. 6, § 25, что для расположения типа (iii) вычисления с 62 двоичными знаками дают совсем неузнаваемый вычисленный характеристический полином. Тот факт, что нули верного характеристического уравнения сравнительно нечувствительны к малым относительным изменениям коэффициентов, не имеет отношения к делу. Для таких расположений метод Крылова непрактичен.
Рассматривая расположение (iv), находим, что не только метод Крылова дает очень точное определение характеристического полинома, но и что характеристическое уравнение очень хорошо обусловлено. Метод Крылова, даже с одинарной точностью, очень эффективен для матриц с собственными значениями этого тина.
Суммируя, мы можем сказать, что, несмотря на то, что метод Крылова эффективен для матриц, собственные значения которых «хорошо распределены» в комплексной плоскости, он имеет серьезные ограничения для использования в качестве метода широкого назначения.
