Теория возмущений, основанная на теоремах Гершгорина

14. Мы будем исследовать собственные значения используя жорданову каноническую форму. Будем различать пять главных случаев.

Случай 1. Возмущение простого собственного значения А, матрицы, имеющей линейные элементарные делители.

В этом случае жорданова каноническая форма диагональна. Существует матрица такая, что

причем ее столбцы составляют полную систему правых собственных векторов а строки составляют полную систему левых собственных векторов Если мы нормируем эти векторы так, что

то можем взять в качестве столбца вектор и тогда строка будет в обозначениях § 8. (Заметим, что так как простое собственное значение, единственны с точностью до множителя, равного по модулю единице.) Тогда

Применяя теорему 3, получим, что собственные значения лежат в кругах с центрами и радиусами Используя соотношение (8.4), видим, что если то радиус круга меньше чем и так как предполагалось простым, для достаточно малых первый круг изолирован и поэтому содержит в точности одно собственное значение.

15. Результат, который мы только что получили, слегка разочаровывает, так как мы могли бы ожидать из предыдущего анализа, что собственное значение, соответствующее должно находиться в круге с центром но имеющем радиус при Мы можем уменьшать радиусы кругов Гершгорина следующим простым способом.

Если мы умножим столбец какой-либо матрицы на строку на то ее собственные значения не изменятся. Применим это для к матрице, стоящей в правой части (14.3), взяв Тогда она

становится

Все элементы в первой строке, кроме элемента в позиции (1.1), теперь содержат множитель в то время как элементы в первом столбце, кроме элемента в позиции (1.1), не зависят от Все остальные элементы не изменились. Мы хотим выбрать к так, чтобы сделать первый круг Гершгорина возможно более малым, сохраняя остальные круги достаточно малыми, чтобы избежать пересечения с первым.

Ясно, что это будет выполнено для всех достаточно малых если мы выберем к наибольшим, удовлетворяющим неравенствам

(Множитель в соотношениях (15.2) не имеет особого значения: его можно заменить любым другим, не зависящим от и меньшим единицы). Это требование будет выполнено, если

(Если все нули, то точное собственное значение, и нам не надо более обсуждать этот случай.) При таком определении к имеем для радиуса первого круга Гершгорина

Мы также имеем

Напомним читателю, что эти оценки получены при предположении, что В нормирована так, что

16. Явные выражения для границ, вообще говоря, скрывают простоту основной техники. Эта простота становится ясной при рассмотрении численных примеров. Для иллюстрации рассмотрим сначала матрицу

Первая матрица справа имеет одно двукратное собственное значение но линейные элементарные делители.

Умножая первую строку на и первый столбец на 105, видим, что собственные значения X совпадают с собственными значениями матрицы

Соответствующие круги Гершгорина имеют:

Первый круг изолирован и поэтому содержит в точности одно собственное значение; радиус этого круга порядка Тот факт, что другие два диагональных элемента совпадают, не влияет на результат в целом.

Однако если мы позволим одному из остальных двух собственных значений приблизиться к первому, то отделение этого собственного значения будет затруднено. Рассмотрим матрицу

Мы не можем использовать теперь множитель так как тогда бы первые два круга Гершгорина пересеклись. Используя множитель получаем

и первые два круга Гершгорина изолированы. Следовательно, существует собственное значение в круге с центром и радиусом

17. Случай 2. Возмущение кратного собственного значения матрицы, имеющей линейные элементарные делители.

Этот случай вполне иллюстрируется простым примером матрицы шестого порядка, у которой Так как эта матрица А имеет линейные делители, подобна

Мы уже имели дело с в случае 1. Умножая шестой столбец на и шестую строку на мы можем локализовать простое собственное значение в круге с центром и радиусом, имеющим порядок при Рассмотрим теперь остальные пять кругов Гершгорина. Три из них имеют центры в ) и два — в и все соответствующие радиусы порядка Очевидно, что при достаточно малых 8 группа из трех кругов будет изолирована от группы из двух, но мы не можем, вообще говоря, утверждать, что отдельные круги в группе будут изолированы. Все возмущения трехкратного собственного значения имеют порядок 8 при но, вообще говоря, неверно, что существует по одному собственному значению в каждом из трех кругов с центрами ) и радиусами порядка

18. Мы можем, однако, несколько уменьшить радиусы этих кругов. Остановимся на трехкратном собственном значении. Перепишем (17.1) в виде

где матрицы третьего порядка. Умножая первые три строки на и первые три столбца на получим

Мы можем выбрать значение к независимо от 8 так, что первые три круга станут изолированными от остальных. Следовательно, при соответствующих к три собственных значения находятся в объединении трех кругов:

Для матрицы шестого порядка это уменьшение радиусов незаметно, но для матриц высших порядков оно существенно. Мы увидим далее (гл. 9, § 68), что, приводя матрицу в (18.1) к канонической форме, можно получать более точные результаты, но здесь мы не останавливаемся на этом.

Мы показали, что если матрица А имеет кратные собственные значения, но линейные элементарные делители, то коэффициенты характеристического полинома должны быть связаны таким образом, что в возмущениях не возникают дробные степени

19. Случай 3. Возмущение простого собственного значения матрицы, имеющей один или более нелинейных элементарных делителей.

Так как А имеет нелинейные элементарные делители, то уже не существует полной системы собственных векторов. Сначала исследуем величины, играющие роль для таких матриц. Рассмотрим простую матрицу А вида

Собственные значения этой матрицы и соответствующие правые и левые векторы суть

Поэтому имеем

и при оба стремятся к нулю. Мы видели, что чувствительность простого собственного значения к возмущениям пропорциональна следовательно, когда стремится к а, оба собственных значения становятся все более и более чувствительными. Заметим, однако, что мы имеем при всех значениях так что хотя стремятся к бесконечности, они не независимы.

20. Для матриц с нелинейными элементарными делителями анализ, аналогичный проведенному в предыдущих параграфах, может быть проведен с использованием жордановой канонической формы А. Существует неособенная матрица такая, что

где С — верхняя каноническая жорданова матрица. Мы теперь не можем предполагать, что все столбцы нормированы, так как масштабные множители столбцов, связанных с нелинейными элементарными делителями, подчинены требованию, чтобы соответствующие наддиагональные элементы С были единицы (гл. 1, § 8). Тем не менее все же удобно предполагать, что столбцы, связанные с линейными элементарными делителями, нормированы. Обозначим через матрицу, состоящую из нормированных строк и будем писать

Возмущение простого собственного значения вполне иллюстрируется на простом примере. Рассмотрим матрицу четвертого порядка, имеющую элементарные делители . Можно написать

где

Естественно задать вопрос, будут ли возмущения простых собственных значений и такими, что

На первый взгляд присутствие единицы в жордановой форме является большим неудобством, так как радиус первого круга Гершгорина больше единицы при всех . Следовательно, если меньше единицы, третий круг не изолирован от первого при всех . Однако если мы умножим первую строку (20.2) на и первый столбец на то получим

где не зависят от Выбор

устраняет трудность. Чтобы изолировать третий круг Гершгорина и сделать его радиус порядка умножим третий столбец и третью строку на соответственно, выбрав к так, чтобы

Точно так же, как в § 15, мы видим, что круг с центром и радиусом изолирован при достаточно малых и поэтому содержит в точности одно собственное значение. Следовательно, возмущение простого собственного значения таково, что

Здесь есть на самом деле и из (20.2) мы имеем Присутствие элементарного делителя — не вызывает существенного различия в поведении простого собственного значения, отличного от Читатель может легко убедиться в том, что этот результат общий.

21. Случай 4. Возмущение собственного значения, соответствующего нелинейному элементарному делителю полной матрицы.

Рассмотрим нелинейный делитель — и так как предполагается, что матрица полная, то не существует других делителей с множителем . Матрица § 20 служит иллюстрацией этого случая. Мы рассмотрим возмущения двукратного собственного значения (20.2) элемент, равный единице, стоит в одной из строк, содержащих элемент Если мы хотим получить круг Гершгорина с радиусом, стремящимся к нулю при то этот элемент надо умножить на некоторый множитель. На самом деле, умножая второй столбец на и вторую строку на получаем

где мы опустили постоянные множители в элементах второй матрицы. Ясно, что члены с преобладают в формуле для радиусов кругов Гершгорина. При достаточно малых 8 существуют в круге с центром и радиусом порядка два собственных значения. Аналогично для кубического делителя мы можем, например, преобразовать матричную сумму

к виду

умножая второй и третий столбцы на и вторую и третью строки на Теорема Гершгорина тогда дает, что при достаточно малых в круге с центром и радиусом, пропорциональным находятся три собственных значения.

Общий результат для делителя степени теперь очевиден, и пример, данный в § 2, показывает, что мы не можем избежать множителя если В — матрица общего вида. Конечно, могут быть специальные возмущения порядка , для которых возмущения собственных значений будут порядка или даже нули.

22. Случай 5. Возмущения собственных значений когда существует более чем один делитель с множителем и по крайней мере один из них нелинейный.

Прежде чем дать общие результаты для этого случая, рассмотрим простой пример матрицы, имеющей жорданову каноническую форму

Естественно спросить, будут ли здесь все еще два собственных значения в круге с центром и радиусом при Очевидно, нет, так как если мы возмутим элементы в позициях (3,4) и (5,1), то характеристическое уравнение будет

так что все возмущения пропорциональны Мы можем доказать, однако, что существует по крайней мере одно возмущение, которое не имеет порядка больше Действительно, рассмотрим все возможные возмущения порядка 8 элементов матрицы (22.1). Мы можем разложить характеристическое уравнение по степеням из рассмотрения определителей, входящих в разложение, очевидно, что свободный член имеет вид

Здесь нет члена с 8 или не зависящего от Если корни характеристического уравнения даются

то имеем

Следовательно, невозможно всем быть большего порядка чем Добавление собственных значений любой кратности, но отличных от очевидно, не влияет на результат.