Ненормальные матрицы

58. Для нормальных матриц мы часто можем получить очень точные и строгие оценки собственных значений из относительно неточной информации, относящейся лишь к части собственной системы. Для ненормальных матриц это возможно редко. Соотношение (53.5) имеет значение лишь тогда, когда мы имеем оценку для к, а ее нельзя получить из соотношения (53.1). Даже если мы имеем обоснованную оценку для то оценка (53.5) может быть очень пессимистичной, если окажется, что является приближением к хорошо обусловленному собственному значению, а А имеет несколько плохо обусловленных собственных значений.

Однако рассмотрим близкие приближения и к правому и левому векторам, соответствующим Для таких и можем написать

где принадлежит подпространству, натянутому на векторы от до подпространству, натянутому на векторы от до и оба они малы. Итак, имеем

где

При этом

При условии, что не слишком мало, мы могли бы ожидать, что отношение будет давать хорошее приближение к

Для нормальных матриц отношение Релея имело особую важность. Так как для таких матриц

то мы видим, что отношение есть естественное расширение отношения Релея для нормальных матриц на ненормальные матрицы. Мы будем называть его обобщенным отношением Релея, соответствующим

Предположим теперь, что мы, используя устойчивый алгорифм, нашли нормированные левый и правый собственные векторы и считая их соответствующими одному и тому же собственному значению, и проверили, что для определенного равенством

как так и малы. Тогда можно с большим основанием предполагать, что есть хорошее приближение к еще лучшее приближение к Однако без некоторой дальнейшей информации мы не можем получить строгой оценки ошибки в или даже быть абсолютно уверенными, что являются приближениями, соответствующими одному и тому же собственному значению.