Комплексно сопряженные собственные значения

12. Если доминирующие собственные значения действительной матрицы суть комплексно сопряяенная пара и то итерированные векторы не сходятся. В самом деле, если суть соответствующие собственные векторы, то произвольный вещественный вектор представим в виде

Следовательно, имеем

где

Компоненты по обязательно исчезнут, но если положить

то ясно из (12.2), что ни ни не стремятся к пределу. Если мы обозначим компоненту через равенство (12.2) даст

и, следовательно, компоненты осциллируют.

Если и суть корни уравнения то

или

и, следовательно, обязательно любые три последовательные итерации будут линейно зависимыми. С помощью метода наименьших квадратов мы можем определять последовательные приближения для Имеем

Если и стремятся к пределам то и можно сосчитать из соотношений

13. Так как и определяются из алгебраического уравнения, они плохо определяются по коэффициентам если корни близки, т. е. если мала. Можно было бы подумать, что потеря точности в собственных значениях соответствует плохой обусловленности исходной задачи, но это не обязательно верно.

Рассмотрим, например, матрицу

Собственные значения ее равны и можно легко проверить, что они сравнительно нечувствительны к малым возмущениям элементов А. Однако характеристическое уравнение

имеет корни, весьма чувствительные к независимым изменениям коэффициентов. Следовательно, даже сравнительно точно определенные по методу § 12 р и q будут давать плохое значение для мнимой части собственного значения. В этом случае уравнения (12.8) заведомо плохо обусловлены.

Это хорошо иллюстрируется матрицей (13.1). Так как она второго порядка, то за мы можем взять любой вектор. Если мы возьмем то получим, работая с 4 десятичными знаками

Так как здесь лишь две компоненты, определяются единственным образом, и мы имеем

что дает

Точные вычисления, конечно, дают точно. Значения из (13.3) бесполезны для определения