Анализ ошибок

14. Покажем теперь, что замечание, сделанное относительно величины элементов верно в общем при некоторых предположениях.

Предположим, что выбор ведущего элемента производился способом, который был описан, что вычисления производились с использованием арифметики с фиксированной запятой и накоплением скалярных произведений и что все элементы А и вычисленной меньше единицы. Тогда из (11.3) и (11.4) при имеем

где

Аналогично при имеем

где

Умножая (14.3) на получим

где

Уравнения (14.1) и (14.5) показывают, что

а из (14.2) и (14.6) следует, что

так как мы предположили, что все элементы ограничены единицей. Следовательно, окончательно имеем

где

Это является вполне удовлетворительным результатом, так как вряд ли мы могли ожидать, что будет меньше! Однако он далеко не так хорош, как кажется. Уравнение (14.9) означает, что

и что

Следовательно, вычисленная является точным преобразованием подобия с вычисленной в качестве матрицы преобразования. Другими словами, мы можем сказать, что отличается от точного преобразования подобия А на матрицу Тот факт, что вместо А привлечена А, несуществен, так как собственные значения и индивидуальные числа обусловленности у матриц совпадают. Имеем

но хотя элементы ограничены единицей, может быть весьма большой. В самом деле, если все соответствующие отличные от нуля равны —1, то, например, для случая мы имеем

и в общем случае равен Конечно, без более глубокого анализа мы не можем получить оценку для которая не содержала бы множителя Можно сопоставить это с ситуацией, в которой была бы унитарной. Тогда мы сразу имеем

15. Таким образом, процесс имеет два источника опасности. Во-первых, элементы могут быть значительно больше элементов А, и тогда не выполняются предположения, на которых основана наша оценка для Если наибольший элемент будет порядка то оценка для будет содержать дополнительный множитель Во-вторых, даже если мы используем выбор ведущего элемента, норма может быть весьма велика. Ситуация похожа на ту, какую мы имели в методе Гаусса (или при разложении матрицы в произведение треугольных) с выбором ведущего

элемента по столбцу, хотя теперь мы имеем дополнительную опасность от нормы N. Анализ скорости роста ведущих элементов до сих пор не проведен.

На практике наблюдался лишь небольшой рост ведущих элементов, и матрицы имели нормы порядка единицы. Следовательно, была обычно меньше, чем что является оценкой, которую мы нашли для Снова ситуация сильно напоминает ситуацию, которую мы описывали в связи с методом Гаусса.

По существу преобразования, использующие устойчивые элементарные матрицы, обычно оказываются даже более точными, чем метод Хаусхолдера. Однако остается потенциальная опасность роста ведущих элементов и нормы и из предосторожности следует иногда предпочесть метод Хаусхолдера. Заметим, что сейчас имеется несколько больше оправданий для осторожной точки зрения, чем в случае приведения к треугольному виду. Если имеется вычислительная машина, на которой скалярные произведения не могут удобно накапливаться, то использование устойчивых элементарных преобразований значительно менее привлекательно.