Асимптотическая квадратичная сходимость методов Якоби

9. Мы только что показали, что можно получить очень хорошие оценки для собственных значений, когда внедиагональные элементы стали малыми. Это важно потому, что сходимость любого метода Якоби должна стать более быстрой на последующих шагах. Известно, что для различных вариантов метода Якоби сходимость в действительности становится асимптотически квадратичной, если собственные значения различны. Первый результат такого типа был получен Хенричи (1958а). Самыми точными результатами, полученными до сих пор, в обозначениях §§ 4 и 8 являются следующие.

(i) Для классического метода Якоби Шенхаге (1961) показал, что если

и мы достигли такого этапа, на котором

то

Шенхаге показал далее, что если (9.1) выполняется за исключением пар совпадающих собственных значений, то

где

(ii) Для общего циклического метода Якоби Уилкинсон (1962с) показал, что при условиях (9.1) и (9.2)

Шенхаге отметил, что тот же результат верен даже тогда, когда А имеет любое число пар совпадающих собственных значений при условии, что вращения, соответствующие этим парам, выполняются первыми.

(iii) Для частного циклического метода Якоби Уилкинсон (1962с) показал, что

Напомним, что доказательства этих результатов показывают лишь то, что если процессы сходятся, то они асимптотически сходятся квадратично. Никогда не было доказано, что общий циклический метод Якоби сходится (см. однако, § 15).