Практические рассмотрения
35. До настоящего времени при обсуждении итерационных методов мы не дали никаких указаний на трудности вычислений. Наши обсуждения асимптотического поведения сходимости были бы реалистичными, если бы собственные значения вычислялись с громадным количеством значащих цифр. На практике редко интересуются более чем 10 десятичными знаками, хотя чтобы получить их, нужно работать со значительно большей точностью.
Обычным способом описания поведения методов, имеющих квадратичную или кубическую сходимость, является утверждение, что «за каждую итерацию число значащих цифр удваивается или утраивается». Однако такие утверждения мог бы делать «классический» аналитик, но они неприменимы в практическом численном анализе.
Предположим, например, что при использовании кубически сходящегося процесса предельное поведение погрешности 
описывается соотношением
Если
предполагая, что асимптотическое соотношение уже верно при 
Но на практике мы не можем ожидать, что 
если только мы не используем более 29 десятичных знаков для наших значений функции. Итерации, скорее всего, будут остановлены на 
если мы будем получать 
, то точность будет, вероятно, ограничена точностью вычислений. Это верно, даже если вычисленные значения 
и ее производных верны с рабочей точностью. Почти сразу после того, как мы достигаем значения 
которое достаточно мало для того, чтобы асимптотическое поведение вступило в силу, мы находим, что точность вычислений ограничивает наши возможности получения этого преимущества.
Достижимая точность далее лимитируется нашей способностью вычисления значений самой 
в окрестности корня. Исследование формул, которые мы дали, показывает, что в каждом случае «поправка» 
прямо пропорциональна текущему вычисленному значению 
Вычисленная поправка поэтому не будет правильной поправкой, если только 
не имеет несколько правильных значащих цифр.
