Численная стабильность
44. В случае определения доминирующего собственного значения и собственного вектора метод возведения матрицы в степень весьма точен, особенно если скалярные произведения накапливаются. Интересно посмотреть, что случится, если собственному значению или собственным значениям с максимальным модулем соответствует более одного собственного вектора. Если мы положим
Каждый вектор 
можно выразить через векторы 
Следовательно, если, например, мы имеем вещественное доминирующее собственное значение с 
линейно независимыми собственными векторами, то все эти собственные векторы должны быть представлены в столбцах 
С другой стороны, если А имеет доминирующие собственные значения 
каждый столбец 
будет состоять из вектора, лежащего в подпространстве, порожденном двумя соответствующими собственными векторами. В любом случае собственные значения А получаются наилучшим образом при применении простого степенного метода к линейно независимым векторам-столбцам 
Так как при образовании высоких степеней А разделение собственных значений улучшается, на первый взгляд кажется привлекательным комбинировать возведение матриц в степень с простым степенным методом и исчерпыванием. При таком комбинировании мы можем вычислить 
для сравнительно небольших 
и затем осуществить простые итерации, используя 
Недостатком такого способа является то, что собственные значения с меньшим модулем сравнительно слабо представлены
В самом деле, имеем
используется для обозначения ошибок округления. Если 
то член 
меньше ошибок округления уже при 
и из 
нельзя получить ни одного знака для 
и Однако комбинирование 
шагов возведения матрицы в квадрат и затем простых итераций часто является наиболее экономичным способом нахождения доминирующего собственного значения. В случае, когда несколько других собственных значений близки к доминирующему собственному значению, они могут быть довольно точно найдены из 
использованием простых итераций и исчерпывания. Так, например, если собственные значения матрицы в убывающем порядке равны
соответственно. Три соответствующих собственных вектора полностью представлены в 
и могут быть получены простыми итерациями и исчерпыванием. Так как собственные значения теперь сравнительно хорошо разделены, требуется лишь несколько итераций.
