1.3.3. Неравенство Чебышева
Иногда требуется узнать вероятность того, что некоторая, случайно флуктуирующая величина превысит определенное пороговое значение. Неравенство Чебышева показывает, как оценить верхнюю границу для этой вероятности без детального знания действительного распределения вероятности.
Пусть 
есть плотность вероятности некоторой действительной случайной переменной х и пусть 
есть неотрицательная действительная функция от х. Предположим, что 
где К — некоторое положительное число, в то время как х лежит в области 
Тогда вероятность 
того, что 
превышает К, является, очевидно, вероятностью того, что х лежит внутри 
и определяется выражением
Вычислим среднее значение 
Благодаря неотрицательности 
мы имеем
так что
Эта формула известна как неравенство Чебышева. Заметим, что его достаточно для нахождения ожидания 
с целью определения верхней границы 
хотя эта граница зачастую малозаметна.
В качестве примера рассчитаем вероятность того, что значение х отклоняется от своего среднего 
больше, чем на 
стандартных отклонений а. Пусть 
Тогда требуемая вероятность есть 
В этом случае 
так что из выражения (1.3.42) при 
следует, что
Это неравенство известно как неравенство Беньяме — Чебышева. Таким образом, если 
то это свидетельствует о том, что вероятность отклонения от среднего на величину, большую чем в три стандартных отклонения, меньше 1/9. Фактически, если бы х была гауссовой случайной переменной, то вероятность 
была бы меньше 0.003, так что неравенство Беньяме — Чебышева обеспечивает лишь слабую верхнюю границу.
