7.4. Когерентность поперечных мод лазерного резонатора

Теория резонансных мод в лазерном резонаторе берет свое начало в классических статьях Фокса и Ли (Fox and Li, 1961) и Бойда и Гордона (Boyd and Gordon, 1961). Она была впоследствии расширена и улучшена целым рядом авторов. Теория сыграла центральную роль в лазерной физике и лазерной технике, но будучи основана на монохроматической модели, она не объясняла когерентных свойств мод. Первые попытки прояснить этот вопрос были сделаны Вольфом (Wolf, 1963), Стрейфером (Streifer, 1966), Алленом, Гейтхаузом и Джонсом (Allen, Gatehouse and Jones, 1971) и Гори (Gori, 1980). Более полный анализ, основанный на теории когерентности в пространственно-частотной области, был позднее проведен Вольфом и Агарвалом (Wolf and Agarwal, 1984). В этом разделе мы представим этот анализ когерентных свойств поперечных мод лазерного резонатора.

7.4.1. Условия устойчивости для взаимной спектральной плотности света на зеркале резонатора

Рассмотрим пустой резонатор, состоящий из двух зеркал Предположим, что свет с некоторым начальным распределением на зеркале А запускается в резонатор. Будем считать, что флуктуации света характеризуются ансамблем, стационарным, по крайней мере, в широком смысле. Обозначим через взаимную спектральную плотность первоначального распределения света в точках, заданных радиус-векторами на зеркале А (рис. 7.6). Свет распространяется к зеркалу В, где он отражается и дифрагирует, а часть его возвращается к зеркалу А. После отражения и дифракции на этом зеркале

часть света распространяется снова к зеркалу В, и процесс продолжается. Обозначим через взаимную спектральную плотность света на зеркале А после завершения циклов .

Рис. 7.6. Иллюстрация геометрии и обозначений, относящихся к определению условия состояния устойчивости для взаимной спектральной плотности света в лазерном резонаторе

Согласно (4.7.38) взаимная спектральная плотность Поможет быть представлена в виде

где проведено усреднение по ансамблю случайных функций Благодаря тому, что каждый член этого ансамбля является граничным значением поля, которое удовлетворяет уравнению Гельмгольца

с — скорость света в вакууме) в пространстве между двумя зеркалами, будут связаны линейным преобразованием, т.е.

Здесь пропагатор для распространения монохроматического света с частотой из точки на зеркале А в точку на том же зеркале после единственного отражения и дифракции на другом зеркале В. Приближенное выражение в явной форме для этого пропагатора может быть получено с помощью принципа Гюйгенса — Френеля (см., например, Boyd and Gordon, 1961). Заменяя индекс на в (7.4.1), затем подставляя из выражения (7.4.3) и меняя местами порядок усреднения и интегрирования, мы получим следующее соотношение между взаимными спектральными плотностями

Естественно предположить, что после значительного числа проходов между двумя зеркалами достигается устойчивое состояние в том смысле, что будет равняться с неким коэффициентом пропорциональности Этот коэффициент представляет собой потери света из-за дифракции и поглощения за один полный проход В более явной форме устойчивое состояние характеризуется требованием, что для существенно больших значений

В силу того, что «диагональные» значения представляют собой спектральные плотности, они должны быть действительными и положительными и, следовательно,

Подставляя из (7.4.5) в (7.4.4) и опуская индекс мы получим уравнение

Это уравнение является интегральным уравнением для граничных значений мод взаимной спектральной плотности на зеркале А, которые может поддерживать резонатор, т.е. это уравнение для граничных значений взаимных спектральных плотностей, связанных с модами лазерного резонатора.

Мы подробно рассмотрели распределение света на зеркале А, но точно такие же результаты применимы, конечно, к свету на другом зеркале В.