19.5.2. Распределения времен первого прохождения

Предшествующий формализм позволяет также вычислить моменты высшего порядка времен Твыкл и Твкл первого прохождения. Умножая каждое слагаемое в (19.5.7) на и действуя так же, как при выводе можно легко получить дифференциальное уравнение для момента величины в виде

Таким образом, моменты высшего порядка времени первого прохождения можно вывести рекуррентно из моментов низшего порядка. Интегрируя (19.5.18), можно выразить в виде многократного интеграла

Интегралы можно вычислить, используя те же приближения, что и при вычислении по формулам (19.5.11) и (19.5.12), и результат имеет вид (Roy, Short, Durnin and Mandel, 1980)

Рис. 19.25. Гистограммы измеренных распределений вероятности времени первого прохождения ; а — для параметра накачки 3.5; б - для параметра накачки 9. Сплошные кривые — экспоненциальные распределения, имеющие такое же значение среднего (Твкл) (Roy, Short, Durnin and Mandel, 1980)

Это означает, что времена Твыкл n Твкл распределены приблизительно экспоненциально, так что наиболее короткие времена оказываются наиболее вероятными. В действительности, поскольку вероятность первого прохождения в нулевой момент времени равна нулю, полученный результат, строго говоря, неправилен, но распределение вероятности может очень быстро возрасти с нулевого значения. На рис. 19.25 показаны результаты некоторых измерений данного распределения времен переключения Твкл в двухмодовом лазере на красителе для двух значений параметра накачки. Распределения являются почти экспоненциальными, но в случае наблюдался быстрый рост в первую миллисекунду до наиболее вероятного значения. При больших значениях времени переключения, таких как с, этот рост не разрешался аппаратурой, но предполагается, что он все еще имеет место и его форма может быть получена из более тщательного и более реалистичного рассмотрения проблемы (Lenstra and Singh, 1983). С точки зрения упрощения, при котором задача первого прохождения решалась как одномерная, общее согласие между теорией и экспериментом достаточно удовлетворительное.

Одним из интересных аспектов явления переключения мод является то, что данное явление есть макроскопическое проявление микроскопических квантовых флуктуаций. Всего лишь один спонтанно излученный фотон может инициировать процесс переключения, при котором один довольно интенсивный лазерный пучок включается, а другой выключается. В физике не так много явлений, в которых квантовые флуктуации так удивительно наглядны.

В этой главе мы встретились с различными явлениями, такими как когерентность и некогерентность, метастабильность и переключение мод, фазовые переходы первого и второго рода, которые проявляются в кольцевых лазерах при различных условиях. Все они, в некоторой степени, являются следствием конкуренции мод. Однако наше рассмотрение кольцевого лазера отнюдь не исчерпывает возможных форм его поведения. При соответствующих условиях уравнения движения приводят к самопульсации (Risken and Nummedal, 1968; Graham and Haken, 1968), периодическому «дыханию» импульсов и хаотическому поведению, даже в отсутствии флуктуаций спонтанного излучения (Mayr, Risken and Vollmer, 1981). Кольцевой лазер, очевидно, является системой, чрезвычайно богатой физическими свойствами.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)