1.5.2. Пуассоновское распределение

Когда число испытаний стремится к бесконечности, и вероятность успеха в любом одном испытании стремится к нулю, тогда среднее значение остается постоянным, и распределение Бернулли упрощается. Чтобы увидеть это, запишем

и заменим отношением так что

При пока остается конечным, член под знаком произведения стремится к единице в соответствии с поведением множителя Однако множитель стремится к так что имеем:

Это выражение известно как распределение Пуассона для Оно содержит единственный параметр и весьма полезно для описания случайных событий, которые происходят с некоторой известной средней скоростью. В гл. 9 мы увидим, что когда свет от одномодового лазера попадает в фотодетектор, фотоэлектрические импульсы возникают случайно со средней скоростью, пропорциональной средней интенсивности света, и число импульсов, испущенных в пределах данного временного интервала, подчиняется пуассонов-скому распределению.

Как производящая функция моментов, так и производящая функция факториальных моментов легко находятся с помощью выражения (1.5.6). Таким образом, имеем

Факториальные моменты могут быть получены путем анализа выражения (1.5.8), и мы имеем формулу

из которой следует, что дисперсия равна

Подобно распределению Бернулли, ширина пуассоновского распределения увеличивается с ростом но относительная ширина постепенно падает при

И, наконец, рассчитаем производящую функцию кумулянтов используя выражение (1.5.7):

Поскольку кумулянт является коэффициентом при в этом разложении, сразу же получаем, что

Равенство всех кумулянтов среднему является важной характеристикой пуассоновского распределения. В заключение отметим, что из выражений для третьего и четвертого моментов следует, что асимметрия является всегда положительной, и что эксцесс равен и стремится к 3 при

Иногда встречаются ситуации, в которых случайная переменная является суммой из различных, статистически независимых пуассоновских случайных переменных Тогда производящая функция моментов для определяется по формуле

Она описывает другое пуассоновское распределение, параметр которого является суммой параметров распределений его компонент. Следовательно, также является пуассоновской переменной и сумма независимых пуассоновских случайных переменных также является пуассоновской случайной переменной.