10.4.5. Зависимость операторов поля от времени

В заключение, рассмотрим уравнения движения для операторов убедимся, что их временная зависимость имеет вид, определенный выражениями (10.3.12) и (10.3.13). Гейзенберговское уравнение движения для произвольного оператора поля О, не зависящего явно от времени, имеет вид

где определяется выражением (10.3.15) или (10.3.16). Отсюда следует, что операторы числа частиц не зависят от времени, поскольку они коммутируют с Для операторов уничтожения и рождения из выражений (10.4.1) и (10.4.2) получаем

откуда следуют решения (10.3.12) и (10.3.13). Исходя из с-числовых выражений разложения для операторов поля можно записать в виде (10.2.23) и (10.2.24)]

Здесь означает эрмитово сопряжение предыдущего члена. Нетрудно показать непосредственно из гейзенберговских уравнений движения для и коммутационных соотношений между различными операторами поля которые будут обсуждаться в разд. 10.8, что квантованные

поля связаны теми же уравнениями Максвелла, что и соответствующие классические поля, т.е.

Такой же вывод следует из разложений по модам В заключение отметим, что первый член справа в каждом из выражений иногда обозначается как соответственно, поскольку он зависит только от положительных частот. Эти положительно-частотные составляющие полей соответствуют комплексным аналитическим сигналам, которые были введены в разд. 3.1.