5.7. Основы радиометрии

До сих пор мы изучали свойства полей, создаваемых флуктуирующими источниками, в рамках классической теории когерентности второго порядка. В основу этой теории положены волновое уравнение физической оптики и некоторые элементарные статистические методы. Однако существует наиболее старая теория, называемая радиометрией, которая иногда используется для описания и анализа характеристик излучения источников. В основе этой теории лежит идея, согласно которой, в области пространства, содержащей излучение, энергия распространяется вдоль геометрических траекторий, т.е. вдоль световых лучей. Эта модель используется, главным образом, при рассмотрении тепловых источников и была успешно использована при анализе задач, которые встречаются, например, в осветительной технике. Обобщением радиометрии является теория переноса энергии излучения, которая расширяет возможности радиометрической модели при исследовании распространения излучения как в детерминированных, так и в случайных средах. Эта теория является основным инструментом исследований в астрофизике и имеет многочисленные приложения в других областях.

Радиометрия и теория переноса энергии излучения развивались вполне независимо от современных теорий излучения и, несмотря на продолжительную историю, их основы не были до конца поняты (Wolf, 1978). В этом разделе мы обсудим результаты исследований, которые проясняют в некоторой степени этот вопрос. В основном, мы ограничимся анализом связи между некоторыми основными понятиями этих более старых дисциплин и основными понятиями теории оптической когерентности.

Мы начнем с краткого обсуждения закона сохранения энергии в скалярных волновых полях.

5.7.1. Плотность энергии, поток энергии и закон сохранения энергии в скалярных волновых полях

Плотность энергии и плотность потока энергии представляют собой две важные величины, которые связаны с любым электромагнитым полем. Первая величина является скалярной, вторая — векторной.

Они связаны хорошо известным законом сохранения энергии, известным как теорема Пойнтинга (см., например, Born and Wolf, 1980, разд. 1.1.4). Со скалярными волновыми полями можно также связать скалярные и векторные плотности, которые подчиняются тому же самому закону сохранения и которые можно рассматривать как аналог плотности энергии и плотности потока энергии электромагнитного поля. В этом разделе мы введем эти величины для скалярных волновых полей, получим соответствующий закон сохранения и обсудим некоторые его детали. Мы будем рассматривать как детерминированные, так и случайные волновые поля.

Пусть будет комплексным детерминированным волновым полем в области свободного пространства. Оно удовлетворяет волновому уравнению

где с — скорость света в вакууме. Общетеоретические рассмотрения поля предполагают (см., например, Венцель, 1949, разд. 8), что (действительную) скалярную величину

можно рассматривать как плотность энергии, а действительный вектор

как вектор плотности потока энергии. Здесь а — положительная константа, значение которой зависит от выбора единиц.

Если продифференцировать по времени и взять дивергенцию от и использовать (5.7.1), то мы легко найдем, что

Проинтегрируем (5.7.4) по области Это дает

Если в первом члене мы поменяем операции интегрирования и дифференцирования и применим теорему Гаусса ко второму члену, то уравнение (5.7.5) примет вид

где второй интеграл берется по поверхности ограничивающей объем внешняя единичная нормаль к элементу области Формуле (5.7.6) можно дать следующую интерпретацию. Скорость увеличения (или уменьшения) энергии, заключенной в объеме в данный момент времени равна скорости, с которой энергия входит (или выходит) в объема через граничную поверхность а. В этой интерпретации уравнение (5.7.6) представляет собой закон сохранения энергии поля. Формула (5.7.4) представляет собой дифференциальную форму этого закона.

Физический смысл вектора потока энергии должен интерпретироваться, как можно видеть из следующих рассуждений, с некоторым предостережением. Согласно элементарному векторному исчислению, имеет место тождество где любая векторная дважды непрерывно дифференцируемая по пространственным переменным функция. Следовательно, уравнения (5.7.4) и (5.7.6) не изменятся, если к добавить ротор любого достаточно регулярного векторного поля Это показывает, что вектор плотности потока не является единственным вектором, согласующимся с законом сохранения энергии. Эти замечания указывают на то, что нельзя рассматривать как представление скорости потока энергии в точке за время Физический смысл имеет только интеграл от нормальной

компоненты вектора потока энергии, взятый по любой замкнутой поверхности в области пространства, содержащей поле.

Далее предположим, что комплексная функция является аналитическим сигналом, который представляет монохроматическое поле с частотой т.е.

Выражения (5.7.2) и (5.7.3) для плотности энергии и для вектора плотности потока вектора теперь принимают вид, (где

где вместо мы записали чтобы подчеркнуть, что эти величины теперь не зависят от а зависят от частоты Дифференциальная форма [см. (5.7.4)] закона сохранения энергии принимает теперь вид

До сих пор мы считали переменную поля детерминированной. Предположим теперь, что она является случайной и представляет собой флуктуирующее оптическое поле. Полагая, что флуктуации можно представить в виде статистического стационарного, в широком смысле, ансамбля, взаимную спектральную плотность поля можно выразить в виде [ср. (4.7.38)]

Здесь угловые скобки означают усреднение, которое осуществляется по соответствующему ансамблю строго монохроматических волновых полей с частотами Тогда средняя плотность энергии и плотность потока энергии на частоте определяются математическим ожиданием выражений (5.7.8) и (5.7.9), а именно,

Кроме того, усредняя по ансамблю (5.7.10) и меняя порядок усреднения и дифференцирования, мы получим дифференциальную форму закона сохранения для случайных статистически стационарных волновых полей:

При использовании (5.7.11) мы можем выразить через взаимную спектральную плотность, а не через ансамбль тогда мы находим

Иногда бывает полезным записать эквивалентное выражение для среднего вектора плотности потока энергии, которое включает один, а не два предельных перехода. Его можно получить следующим образом. Положим

Тогда мы имеем где

Если применить к обеим частям уравнения (5.7.18) оператор градиента V, действующий на «переменную разности» изменить порядок дифференцирования и усреднения и затем перейти к пределу то мы получим формулу

Сравнивая эту формулу с (5.7.13), мы получим альтернативное выражение для среднего вектора плотности потока энергии:

Также существует другое выражение и для включающее единственный предельный переход, которое можно получить из (5.7.15):

Предположим теперь, что точка поля находится в дальней зоне плоского излучающего источника, который занимает конечную область на плоскости и излучает в полупространство Мы покажем, что существуют простые соотношения между плотностью энергии, вектором плотности потока энергии и спектральной плотностью в точке Чтобы это продемонстрировать, мы сначала представим каждый член статистического ансамбля описывающего поле в полупространстве в виде углового спектра плоских волн [см. (3.2.19), в котором мы заменяем ко на к, а также осуществляем тривиальные изменения для других обозначений], а именно

где

Непосредственно из (5.7.21) следует, что

Ранее мы показали [см. (3.2.22)], что выражение (5.7.21) в дальней зоне, когда точка удаляется в дальнюю зону в направлении имеет вид

Из этого выражения, или же применяя к интегралу (5.7.23) принцип стационарной фазы, мы находим, что

В этих формулах в обозначает угол между единичным вектором и положительным направлением оси проекция, рассматриваемая как двумерный вектор, единичного вектора на плоскость источника (см. рис. 5.18). Подставляя уравнения (5.7.4) и (5.7.25) в формулы (5.7.12) и (5.7.13), мы получим следующие выражения для средних плотности энергии и вектора плотности потока энергии в дальней зоне источника:

В этих формулах

— «диагональный элемент» угловой корреляционной функции излучаемого поля [ср. (5.6.48)]. Он связан с взаимной спектральной плотностью поля на плоскости источника уравнением (5.6.49). Теперь из (5.2.12) и (5.6.53) следует, что спектральная плотность дальнего поля выражается в виде

До сих пор константа а считалась произвольной. Положим теперь

С учетом этого определения из уравнений (5.7.26), (5.7.27) и (5.7.29) мы получаем следующие выражения

Формулы (5.7.31) и (5.7.32) означают, что в дальней зоне передачу энергии можно представить как распространение энергии вдоль прямых линий в радиальных направлениях (т.е. в направлениях от начала координат к точке поля) со скоростью света в вакууме. Подчеркнем, что в общем случае эта простая модель является характерной только для передачи энергии в дальней зоне излучающего источника.

Исходя из смысла вектора плотности потока, очевидно, что скорость излучения источника на частоте в полупространство определяется выражением

где интегрирование выполняется в пределах телесного угла образуемого всеми единичными векторами направленными в полупространство Если подставить в эту формулу выражение (5.7.32) для усредненного вектора плотности потока, мы получим выражение для

Согласно (5.2.12) подынтегральное выражение в правой части (5.7.34) есть не что иное как интенсивность излучения Таким образом, можно выразить в виде

Эта формула показывает, что интенсивность излучения, которую мы ввели в разд. 5.2.1 для анализа поведения спектральной плотности в дальней зоне, представляет собой скорость излучения источником энергии на частоте в единицу телесного угла в направлении