6.2. Равновременная 2x2-матрица когерентности хорошо коллимированного, однородного, квазимонохроматического светового луча

Рассмотрим хорошо коллимированный, однородный, квазимонохроматический световой луч со средней частотой Выберем правую декартову систему координат с осями и осью z вдоль эффективного направления распространения луча. Пусть

где компоненты комплексного вектора электрического поля в направлениях х и у, соответственно, в точке некоторой поперечной плоскости в момент времени Если точка лежит в пределах пучка и не слишком близко к его краю, будут фактически независимы от х и у, потому что луч предполагается однородным; однако, они будут зависеть от координаты (которую мы не указали явно в аргументах

Из свойств представления огибающей узкополосных сигналов, обсуждавшихся в разд. 3.1.2, следует, что множители комплексной амплитуды егаи егав выражении (6.2.1) будут меняться медленно с по сравнению с оставаясь фактически постоянными на временных интервалах, меньших по сравнению с обратной шириной полосы света. Амплитуды также как и являются случайными величинами.

Рис. 6.1. Иллюстрация установки для определения элементов равновременной -матрицы когерентности однородного квазимонохроматического светового луча

В общем случае будут коррелированны. Покажем теперь, что некоторая информация об этой корреляции может быть получена из простых экспериментов. Предположим, что луч пропускается через компенсатор и затем через поляризатор. Пусть обозначают изменения фазы, созданные в соответственно, компенсатором при прохождении света от плоскости до плоскости (см. рис. 6.1). Далее, пусть О обозначает угол, который направление колебаний электрического поля, выходящего из поляризатора, образует с осью х. Обозначим как единичный вектор с компонентами О вдоль направлений х и у, соответственно. Опуская несущественный постоянный фазовый множитель, комплексное электрическое поле в любой точке поперечного сечения луча, который выходит из этого двухкомпонентного устройства, задается (если игнорировать потери на отражение на поверхностях компенсатора и поляризатора) в виде

Среднее значение плотности электрической энергии в любой точке в освещенной части плоскости согласно уравнению (6.1.6) задается выражением

которое не зависит от времени из-за нашего допущения, что поле статистически стационарно. Подставляя уравнение (6.2.2) в уравнение (6.2.3), получим для выражение

где

стоят вместо x или элементы ковариантной матрицы

В силу того, что фазовые изменения и входят в правую часть уравнения (6.2.4) только через разность мы записали а не в левой части этого уравнения. Ковариантная матрица определенная уравнением (6.2.6), может быть названа разновременной матрицей когерентности или, для краткости, матрицей когерентности луча. По причинам, которые станут ясными в разд. 6.3, ее

также иногда называют поляризационной матрицей. Следует заметить, что термин «матрица когерентности» используется в оптической теории когерентности в нескольких различных смыслах, с некоторыми из которых мы будем сталкиваться позднее.

Пусть обозначает след матрицы когерентности. Мы видим, что

т.е. он пропорционален среднему значению плотности электрической энергии света в любой точке поперечного сечения луча, падающего на устройство. Недиагональные элементы являются комплексными числами в общем случае, и они представляют равновременные корреляции между -компонентами комплексного электрического поля на плоскости Ясно, что являются комплексно-сопряженными друг к другу, т.е. что

откуда следует, что матрица когерентности эрмитова. Более того, она является неотрицательно определенной, т.е. для любых произвольных комплексных чисел имеем

Этот результат следует из очевидного факта, что Можно легко вывести из неравенства (6.2.9) или из неравенства Шварца и соотношения эрмитовости (6.2.8), что детерминант матрицы когерентности, который мы обозначим как является неотрицательным, т.е. что

Мы видим из уравнения (6.2.4), что как диагональные, так и недиагональные элементы матрицы когерентности в общем необходимы для расчета изменения среднего значения плотности энергии электрического поля света, прошедшего через устройство. По своей математической структуре недиагональные элементы аналогичны взаимной интенсивности скалярной теории Мы нормируем недиагональные элементы как и взаимную интенсивность, полагая

Из уравнений (6.2.8), (6.2.10) и (6.2.11) следует, что

Ясно, что может рассматриваться как мера степени корреляции, которая существует между компонентами комплексного вектора электрического поля в некоторой точке плоскости в любой отдельный момент времени.

Вернемся теперь к выражению (6.2.4) для среднего значения плотности энергии электрического поля в плоскости Если мы воспользуемся уравнениями (6.2.8) и (6.2.11), то формула (6.2.4) может быть представлена в виде

Или, если мы положим

то формула (6.2.13) может быть записана в более компактной форме

Уравнение (6.2.14) аналогично закону (4.3.19) скалярной теории для интерференции частично когерентного света.

С помощью уравнения (6.2.13) элементы матрицы когерентности могут быть определены из измерений, в которых используются компенсатор и поляризатор. Необходимо только измерить значения усредненной плотности энергии электрического поля в любой точке плоскости для ряда выбранных пар значений и решить уравнение (6.2.13) для элементов

Пусть обозначает измерение на плоскости среднего значения плотности энергии электрического поля, которое соответствует отдельной паре значений Удобным набором измерений является, например,

Тогда мы сразу же найдем из уравнения (6.2.4), что

Три этих формулы задают элементы матрицы когерентности через значения усредненной плотности энергии, определенные из шести экспериментов.

Изучим более тщательно, как среднее значение плотности энергии электрического поля меняется сбив. С этой целью мы перепишем (6.2.13) в более удобной форме, используя тригонометрические тождества Если снова воспользоваться (6.2.11), то выражение (6.2.13) примет вид,

Второе и третье слагаемые в правой части (6.2.17) могут быть объединены с помощью элементарного тригонометрического тождества, и мы тогда получим для среднего значения плотности энергии электрического поля на плоскости выражение

где

Предположим, что мы фиксируем 9, но изменяем Из выражения (6.2.17) мы видим, что теперь изменяется синусоидально между значениями

при условии, что Эти два выражения могут быть переписаны в виде

где

Из (6.2.17) видно, что максимум имеет место, когда

а минимум имеет место, когда

Далее предположим, что 8 фиксировано, и меняется в. Из формулы (6.2.18) следует, что опять меняется синусоидально между значениями

Из (6.2.18) ясно, что максимум по отношению к в имеет место, когда

и минимум по отношению к имеет место, когда

Наконец, определим экстремумы среднего значения плотности энергии электрического поля по отношению к 5 и в. Они могут быть получены либо нахождением максимума выражения (6.2.22а) и минимума выражения (6.2.226) по отношению к в, либо максимума (6.2.27а) и минимума (6.2.276) по отношению к Результаты таковы:

Значения пар для которых максимумы имеют место, задаются формулами (6.2.26а) и (6.2.28а), а те значения, для которых имеют место минимумы, задаются формулами (6.2.266) и (6.2.286). Из выражениий (6.2.29) следует, что

Рис. 6.2. Иллюстрация обозначений, относящихся к определению изменения матрицы когерентности при повороте осей вокруг направления распространения луча

Выражение в левой части (6.2.30) аналогично выражению для видности интерференционных полос в интерференционных экспериментах Юнга, которые мы обсуждали в разд. 4.3.1. Мы показали там, что видность пропорциональна абсолютному значению степени когерентности света на апертурах Позднее мы увидим, что выражение в правой части (6.2.30) также имеет простой физический смысл.

При определении матрицы когерентности мы использовали фиксированную, но произвольную систему координат на плоскости, перпендикулярной к направлению распространения луча (ось z). Теперь мы кратко рассмотрим, как матрица когерентности преобразуется, когда оси поворачиваются на угол вокруг оси z. Компоненты комплексного вектора электрического поля в новой системе координат (см. рис. 6.2) выражаются через следующим образом:

Элементы матрицы когерентности в повернутой системе координат равны

где каждый из индексов к, V принимает значения х и у. Из (6.2.31) и (6.2.32) мы сразу же найдем, что

где

Из формулы (6.2.33) следует, что

и что

Выражения (6.2.35) и (6.2.36) показывают, что как след матрицы когерентности, так и ее детерминант, остаются неизменными при любом вращении системы осей вокруг направления z. Этот результат также следует из хорошо известных теорем о матрицах.

Вместо использования матрицы когерентности (поляризации) для представления корреляций в квазимонохроматических пучках простого излучения можно использовать тесно связанное и гораздо более старое представление Стокса (Stokes, 1852) (которое фактически предшествует электромагнитной теории Максвелла). В силу того, что представление Стокса широко используется, мы сейчас кратко опишем его и покажем, как оно связано с современным описанием состояния поляризации световой волны в терминах матриц когерентности.

Представим снова компоненты комплексного электрического поля в двух взаимно ортогональных направлениях, перпендикулярных к направлению распространения луча, в форме, заданной уравнениями (6.2.1), а именно:

Тогда можно определить так называемые параметры Стокса для луча выражениями

где

Сравнивая (6.2.38) с (6.2.6) и используя (6.2.39) и (6.2.37), мы сразу же найдем, что четыре параметра Стокса и элементы матрицы когерентности связаны формулами

Соотношения (6.2.40) могут быть выражены в более компактной форме с помощью спиновых матриц Паули, которые мы выбираем равными

и единичной матрицы

Можно сразу же найти, что соотношения (6.2.40а) и (6.2.406) эквивалентны формулам

Из этих соотношений ясно, что любое свойство матрицы когерентности может быть перенесено на свойство параметров Стокса. Например, воспользовавшись выражениями (6.2.40а), мы сразу же найдем, что неотрицательность детерминанта матрицы когерентности означает, что четыре параметра Стокса удовлетворяют неравенству

Точно так же, как и элементы матрицы когерентности, четыре параметра Стокса квазимонохроматического пучка могут быть определены из простых экспериментов, в которых используются компенсатор и поляризатор. Предположим, что обозначает, как раньше, среднее значение плотности энергии электрического поля луча после того, как он пройдет через компенсатор, который вносит относительное изменение фаз между и -компонентами комплексного электрического вектора поля. Затем луч проходит через поляризатор, который пропускает лишь компоненту электрического поля, которая составляет угол в с направлением Тогда из формул (6.2.15) и (6.2.40а) следует, что параметры Стокса луча, падающего на это двухкомпонентное устройство, задаются в виде: