4.3.3. Время когерентности и ширина спектра

В ходе предварительного обсуждения временной когерентности в разд. 4.2.1 мы ввели понятие времени когерентности. Эта величина является мерой временного интервала, в течение которого существуют заметные корреляции амплитуды и фазы световых колебаний в данной точке флуктуирующего оптического поля. При рассмотрении простейшего интерференционного эксперимента мы дали определение времени

когерентности а также произвели грубую оценку этого параметра, а именно,

где эффективная ширина спектра света в точке В этом разделе мы дадим более точное определение времени когерентности, а также введем связанное с ним понятие ширины полосы.

Из разд. 4.3.1 мы знаем, что мерой корреляций световых колебаний в точке стационарного оптического поля в моменты времени, разделенные интервалом является функция автокогерентности

где поле в точке в представлении комплексного аналитического сигнала. (Для простоты здесь и далее мы опускаем пространственный аргумент функций автокогерентности и спектральной плотности.) Поэтому представляется вполне естественным и удобным с математической точки зрения определить время когерентности в точке как нормированную среднеквадратичную ширину квадрата модуля а именно

По аналогии мы можем определить эффективную ширину спектра (ширину полосы) света в точке как нормированную среднеквадратичную ширину квадрата спектральной плотности

т. е.

где

— средняя частота света.

Выражения (4.3.66) и (4.3.68) для времени когерентности и эффективной ширины спектра можно переписать в несколько ином виде, который позволит нам легко вывести основное неравенство, которому удовлетворяет произведение этих величин. Положим, что

Предположим также, что квадратично интегрируемая и непрерывная функция

Требование непрерывности, в частности, подразумевает, что Из (4.3.67) и нашего

предположения о квадратичной интегрируемости следует, что служат фурье-образами друга:

Выражения для принимают вид

где

Равенство двух интегралов в (4.3.73) вытекает из теоремы Парсеваля для преобразования Фурье.

Далее выразим интеграл в выражении для через функцию Используя второе из соотношений (4.3.71), получим

При переходе от второго выражения к третьему использовано первое из соотношений (4.3.71), а также тот факт, что, поскольку «сдвинутая спектральная плотность» [см. (4.3.70а) и (4.3.706)], она должна быть действительной. Последнее выражение получается из предыдущего при интегрировании по частям, если учесть, что при это справедливо, так как по предположению квадратично интегрируемая функция.

Из первого соотношения в выражении (4.3.72), выражения (4.3.74) и первого соотношения в выражении (4.3.73) следует, что

Существует математическая лемма (Weyl, 1950, с. 393-394; Born and Wolf, 1980, прил. VIII), согласно которой член в квадратных скобках в правой части (4.3.75) больше или равен единице для любой функции для которой существуют интегралы. Таким образом, мы получили следующее неравенство взаимности:

Нетрудно показать, что знак равенства в формуле (4.3.76) будет иметь место лишь тогда, когда член в квадратных скобках в правой части (4.3.75) равен единице; а это возможно только в том случае, если функция Гаусса прил. VIII). Но является фурье-образом а фурье-образ функции Гаусса есть также функция Гаусса. Следовательно, будучи функцией Гаусса, должна быть отлична от нуля для всех значений ее аргумента Но тогда она не удовлетворяет второму условию выражения (4.3.70) (которое является следствием того, что аналитический сигнал). Таким образом, знак равенства в формуле (4.3.76) никогда не достигается. Однако, если спектральная плотность приближенно имеет гауссовскую форму и ее средняя частота 9 велика по сравнению с эффективной шириной спектра, знак неравенства в (4.3.76) можно, очевидно, заменить знаком порядка величины

Определения времени когерентности и эффективной ширины спектра, которые мы только что обсудили, применимы для квазимонохроматического света, спектр которого имеет один более или менее ярко выраженный пик. Сложнее дать приемлемые определения этих величин, если спектр имеет несколько пиков (как в случае многомодового лазера) или если многократные пики имеет абсолютная величина функции взаимной когерентности (например, при наблюдении полос Брюстера в белом свете эта функция имеет два пика). Для спектра, состоящего из двух линий, ширина которых значительно меньше расстояния между ними, понятие эффективной ширины, очевидно, уже не будет однозначным.

Определения времени когерентности и эффективной ширины спектра, отличные от тех, что мы обсуждали до сих пор, можно ввести, исходя из рассмотрения единичной ячейки фазового пространства фотонов (см. Mandel, 1959). Тогда время когерентности определяется формулой

где

— комплексная степень автокогерентности, а эффективный спектральный диапазон определяется как

где

— нормированная спектральная плотность [см. (2.4.26) и (2.4.27)]. Из (4.3.78) и (4.3.79) следует, что можно записать в виде

а из (4.3.67), (4.3.79), (4.3.80) и (4.3.81), используя теорему Парсеваля, получаем в виде

Если теперь перемножить выражения (4.3.82), (4.3.83) и вновь применить теорему Парсеваля, мы получим соотношение

Следовательно, определенное таким образом время когерентности всегда обратно эффективной ширине спектра.

Можно показать (Mandel and Wolf, 1962; Mehta, 1963), что для простых типов спектральных кривых Но если спектральная плотность имеет более сложную форму, два ряда определений могут привести к результатам, совершенно различным по порядку величины. Поэтому в некоторых случаях, применяя то или иное определение, необходимо проявлять осторожность.