12.9.3. Весовой функционал для антинормально упорядоченных корреляционных функций

Ожидаемое значение антинормально упорядоченного операторного произведения может быть сведено непосредственно к интегралу от с-числовых функций, в соответствии с тем же методом, который был

принят в разд. 11.9 и 11.10. Весовой функционал при антинормальном упорядочении обсуждается в работах (Капо, 1965; Mehta and Sudarshan, 1965). Более исчерпывающие, современные обсуждения этого вопроса приводятся в работах (Cahill and Glauber, 1969а, b; Agarwal and Wolf, 1970a, b, с). Мы используем разложение (11.10.8) единичного оператора через проекционные операторы по когерентным состояниям, ограничивая при этом произведение по модам набором Более того, будем предполагать, что моды вне набора незаполнены, и что след оператора плотности по этим незаполненным модам, которые не имеют особого значения для данного обсуждения, уже найден. Вставим между операторами уничтожения и рождения в определении корреляционной функции единичный оператор и получим формулу

Итак, мы видим, что каждый оператор рождения и уничтожения под знаком интеграла стоит слева или справа от своего собственного состояния. Следовательно, можно заменить операторы их собственными значениями. Если теперь вычислить след под знаком интеграла, то получается выражение

где

Таким образом, мы смогли, точно так же, как и ранее для нормально упорядоченных операторных произведений, выразить антинормально упорядоченную корреляционную функцию в виде взвешенного среднего от соответствующей с-численной функции. Понятно, что такой результат должен быть справедлив для любого антинормально упорядоченного функционала операторов уничтожения и рождения, имеющих разложение в степенной ряд. Таким образом, мы имеем

Весовой функционал, или функционал в фазовом пространстве, на этот раз является функционалом задаваемым выражением (12.9.24), [известным как -функционал], а не функционалом [или -функционалом], фигурирующим в диагональном представлении по когерентным состояниям. Таким образом, различие между ожидаемыми значениями нормально упорядоченного и антинормально упорядоченного операторов должно заключаться в характере двух функционалов Мы уже исследовали некоторые свойства весового функционала и показали, что, хотя он имеет некоторые свойства вероятностного функционала, иногда он может быть более сингулярным, нежели классический вероятностный функционал.

Рассмотрим теперь соответствующие свойства Ниже мы приводим четыре принципиальных свойства

(а) является действительным.

Поскольку, помимо действительного коэффициента пропорциональности, равен ожидаемому значению эрмитова оператора, то должен быть действительным, т.е.

(б) нормирован на единицу.

Восстанавливая некоторые шаги, использованные при выводе (12.9.23), получаем

Из этого результата видно, что нормирован на единицу.

Свойствами (а) и (б) также обладает и Однако в общем случае не обладает приводимыми ниже свойствами.

(в) не отрицателен.

Поскольку пропорционален ожидаемому значению неотрицательного оператора то и он сам должен быть неотрицателен. Если мы выразим в виде

где — произвольное состояние поля, вероятность этого состояния, то имеем

так как

Свойства (а), (б) являются важнейшими свойствами всех классических плотностей вероятности. Таким образом, в отличие от относится к классу плотностей вероятности. Четвертое свойство которое приводится ниже, определяет в качестве особого подкласса плотностей вероятности.

(г) ограничен сверху.

Из (12.9.29) мы имеем

откуда видно, что ограничен сверху и снизу, поскольку В этом отношении даже более регулярный, чем классическая весовая функция в фазовом пространстве, т.е. плотность вероятности, которая может быть сингулярной, как дельта-функция.

Несмотря на такое замечательное математическое поведение и на тот факт, что он представляет собой подкласс классических плотностей вероятностей, далек, по смыслу, от плотности вероятности. В этом отношении он совершенно отличается от который, как правило, совпадает с классической плотностью вероятности, если существует классических аналог для данного конкретного состояния. Проиллюстрируем эту ситуацию несколькими примерами.

Если состояние является когерентным состоянием то

что есть гауссовское распределение по относительно с единичной дисперсией. Эту формулу следует сравнить с соответствующей формой

для того же самого состояния. Видно, что, несмотря на хорошее математическое поведение, не соответствует классической весовой функции для электромагнитного поля с вполне определенной комплексной

амплитудой, тогда как наоборот, соответствует. Различие между и является очень большим при малых и становится еще более выраженным для вакуумного состояния, у которого для всех значений Однако, когда все действительные и мнимые части представляют собой большие числа, определяемый формулой (12.9.31), имеет резкий максимум для в окрестности и начинает приобретать некоторые свойства дельта-функции.

В качестве еще одного примера, рассмотрим фоковское состояние для которого

Это произведение -распределений по (см. разд. 1.5), представляющих собой регулярные функции, которые, приблизительно являются гауссовскими для больших и сильно отличаются от соответствующего определяемого формулой (11.8.20). В этом случае для данного состояния не существует никакого классического аналога, что обусловлено очень сингулярным видом Однако из вида определяемого выражением (12.9.33), сложно предположить, что представляет неклассическое состояние.

Несложно получить явное соотношение между функционалами и Связь между ними уже подразумевается при очевидном обобщении на многомодовый случай в фурье-разложении (11.9.16) характеристической функции для антинормально упорядоченных операторов. Но проще исходить непосредственно из определения (12.9.24). Перейдя к диагональному представлению по когерентным состояниям, с помощью (11.11.5) находим, что

Таким образом, функционал представляет собой своего рода гладкую форму функционала в которой сглаживающий функционал является произведением по модам гауссовских функций. Мы уже видели, что для больших имеет характер -функции. Если сам является гладкой и регулярной функцией, то мы можем рассматривать его в качестве пробной функции под знаком интеграла и заключить, что для больших

Таким образом, мы показали, что для состояний, имеющих классический предел, функционалы в фазовом пространстве и стремятся стать равными в классическом пределе. Это означает, что в классическом пределе различия между нормально упорядоченными и антинормально упорядоченными корреляционными функции исчезают тогда, когда полевые векторы можно рассматривать в качестве с-чисел. В таком случае различия между результатами измерений, проведенных с помощью фотоэлектрических детекторов и с помощью квантовых счетчиков, также исчезают.

Весовые функционалы или квазивероятностные функционалы и являются лишь двумя примерами широкого класса возможных функционалов, которые можно связать с различными упорядочениями операторов (ср. разд. 11.10).