5.8.3. Условие для спектральной инвариантности: закон скейлинга для плоских вторичных квазиоднородных источников

В предыдущем разделе мы показали, что в общем случае спектр света в дальней зоне, создаваемый плоским, квазиоднородным, вторичным источником, отличается от спектра источника даже при распространении в свободном пространстве. Можно выразить этот факт словами, что спектр света не является, в общем случае, инвариантом при распространении. С другой стороны, до относительно недавнего времени, изменения в спектрах не наблюдались. Это говорит о том, что источники в обычных лабораториях имеют весьма определенные свойства когерентности. Вскоре мы увидим, что это действительно так.

Снова рассмотрим поле, создаваемое плоским, вторичным, квазиоднородным источником с нормированным спектром [см. (5.8.35)], который имеет одинаковое значение в каждой точке источника. Сначала мы получим условие, которому спектральная степень когерентности источника должна удовлетворять, чтобы нормированный спектр дальнего поля, создаваемого источником, не зависел от направления наблюдения. Для этой цели мы используем две формулы обращения, которые мы получили в разд. 5.3. Первая из них [см. (5.3.37)] с учетом (5.8.33) принимает вид

где мы предположили, что высокие пространственно-частотные компоненты спектральной степени когерентности света на плоскости источника становятся пренебрежимо малыми. Если нормированный спектр является одинаковым в каждой точке источника, то, выполняя двумерное пространственное преобразование Фурье (5.8.35) и вычисляя его для пространственной частоты мы имеем

где пропорциональна полной интенсивности [см. (5.8.36) и (5.8.39)]. Используя это соотношение в (5.8.52), мы получим следующую формулу для восстановленного (нижний индекс «восст.») нормированного спектра источника:

Если проинтегрировать обе стороны этого уравнения по всей частотной области и использовать условие нормировки (5.8.37), мы сразу находим, что

При подстановке этого уравнения в (5.8.54), мы получим следующее окончательное выражение для нормированного спектра на основе спектра в дальней зоне:

Далее, при использовании простого соотношения (5.8.33) во второй формуле обращения [см. (5.3.38)], для квазиоднородных источников мы получим соответствующее выражение для спектральной степени когерентности источника:

Рис. 5.48. Нормированные спектры в дальней зоне вычисленные с помощью (5.8.48) в единицах создаваемые плоским, вторичным, квазиоднородным источником с нормированным спектром, состоящим из одной линии с гауссовским профилем, и со спектральной степенью когерентности, которая также является гауссовской с

Рис. 5.49. а — Восстановленные нормированные спектры источников в единицах и б - восстановленная спектральная степень когерентности (на рисунке аргумент не показан), вычисленные на основе спектров в дальней зоне, показанные на рис. 5.48, используя (5.8.56) и (5.8.57) (Wolf, 1992)

Формулы (5.8.56) и (5.8.57) доказывают тот интересный факт, что для рассматриваемого класса источников спектр в дальней зоне позволяет определить как нормированный спектр источника, так и спектральную степень когерентности источника при условии, что высокие пространственно-частотные компоненты спектральной степени когерентности являются пренебрежимо малыми, что обычно и происходит. На рис. 5.49 представлены примеры таких восстановлений на основе нормированных спектров в дальней зоне [см. (5.8.58) ниже], для случая, когда и нормированный спектр источника и спектральная степень когерентности имеют гауссовские профили [см. (5.8.40) и (5.8.41)]. Спектры в дальней зоне определяются уравнением (5.8.48) и показаны на рис. 5.48.

Из рис. 5.49 мы видим, что для источников, к которым относятся эти вычисления, восстановленные спектры источников и восстановленная спектральная степень когерентности источника восстанавливаются очень близко к данным предполагаемого источника, при условии, что дисперсия спектральной степени когерентности источника порядка или больше Предполагая, что высокие пространственно-частотные компоненты спектральной степени когерентности являются пренебрежимо малыми, нам не нужно проводить отличия между истинными и восстановленными данными и, следовательно, мы теперь будем опускать индекс «восст.» .

Введем нормированный спектр в дальней зоне

где

Очевидно, эта нормировка дает

Ясно, из соотношения (5.8.33) между спектром в дальней зоне и интенсивностью излучения и из определения (5.8.58), что фактически не зависит от расстояния между началом координат и точкой наблюдения в дальней зоне. Предположим теперь, что спектр также не зависит от направления наблюдения. Тогда мы можем вместо записать и уравнение (5.8.58) означает, что

Подставляя (5.8.61) в первую формулу обращения (5.8.56), используя условие нормировки (5.8.60) и пренебрегая вкладами от высоких пространственно-частотных компонент, мы получим следующий результат

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Теорема: Рассмотрим плоский вторичный квазиоднородный источник, в каждой точке которого нормированный спектр имеет одно и то же значение. Если нормированный спектр поля, создаваемого этим источником, имеет одинаковые значения в каждой точке дальней зоны, то он должен быть равен нормированному спектру источника.

Кроме того, если подставить (5.8.61) во вторую формулу обращения [см. (5.8.57)] и снова пренебречь вкладами от высоких пространственно-частотных компонент, то мы получим следующее выражение для спектральной степени когерентности источника:

Мы видим, что имеет определенную функциональную форму, а именно (если вместо писать

т.е. она является функцией только переменной

По понятным причинам говорят, что спектральная степень когерентности, которая имеет функциональную форму (5.8.64), подчиняется закону скейлинга.

Только что установленный результат вместе с результатом (5.8.62) можно объединить в следующую теорему, впервые сформулированную Вольфом (Wolf, 1986, 1992):

Теорема: Рассмотрим поле, создаваемое плоским вторичным квазиоднородным источником, в каждой точке которого нормированный спектр имеет одно и то же значение. Для того, чтобы нормированный спектр света, генерируемый этим источником, имел одинаковые значения как в дальней зоне, так и в самом источнике, спектральная степень когерентности света на плоскости источника должна удовлетворять закону скейлинга, т.е. должна иметь функциональную форму

Примерами таких источников, которые удовлетворяют закону скейлинга, являются все плоские, вторичные, квазиоднородные, ламбертовские источники, поскольку согласно (5.3.53) все такие источники имеют спектральную степень когерентности

которая, очевидно, подчиняется закону скейлинга (5.8.64). До недавнего времени «спектральная инвариантность» подразумевалась как само собой разумеющаяся, поскольку квазиоднородные ламбертовские источники часто встречаются в лабораториях и поскольку, как мы только что узнали, нормированный спектр света в дальней зоне, создаваемый таким источником, совпадает с нормированным спектром источника. Однако такая инвариантность на самом деле не является общим свойством света. Этот результат, впервые предсказанный Вольфом (Wolf, 1986), был вскоре подтвержден экспериментально Морисом и Факлисом (Morris and Faklis, 1987). Мы опишем кратко этот эксперимент.

Рис. 5.50. Схемы экспериментов, реализующих плоский, вторичный, квазиоднородный источник в плоскости II, подчиняющийся закону скейлинга а и не подчиняющийся ему б (Morris and Faklis, 1987)

Рис. 5.51. Измеренные значения в разных направлениях в нормированного спектра в дальней зоне, создаваемого источником, который удовлетворяет закону скейлинга а и не удовлетворяет ему б. Эти спектры были получены с помощью экспериментальных устройств, показанных на рис. 5.50. Было обнаружено, что для источника а, подчиняющемуся закону скейлинга, все нормированные спектры в дальней зоне являются одинаковыми, и поэтому на рисунке изображена только одна кривая (Morris and Faklis, 1987)

Морис и Факлис освещали апертуру в плоскости I [см. рис. 5.50] светом от широкополосного, существенно некогерентного теплового источника (вольфрамовая лампа), помещенного непосредственно перед апертурой. В плоскости II при помощи (а) обычной линзы с фокусным расстоянием ахроматической линзы фурье-преобразования создавался плоский, вторичный, квазиоднородный источник. Спектры света, получаемые от этих источников, измерялись в дальней зоне (плоскость III) в разных направлениях наблюдения в. Эти спектры сравнивались со спектрами вторичных источников в плоскости II.

Можно показать, что если апертура в плоскости II достаточно велика, то спектральная степень когерентности вторичного источника в плоскости II, создаваемого линзой на схеме удовлетворяет закону скейлинга. С другой стороны, можно показать что спектральная степень когерентности света в плоскости II, полученного при помощи ахроматической линзы фурье-преобразования, не подчиняется закону скейлинга. В соответствие с представленным ранее в этом разделе теоретическим анализом, можно ожидать, что в экспериментальной установке, показанной на рис. 5.50а, нормированный спектр дальнего поля (плоскость III) будет одинаковым во всех направлениях в и будет равен нормированному спектру источника; тогда как в установке, изображенной на рис. нормированный спектр в дальней зоне будет зависеть от разных направлений в и, следовательно, за исключением некоторых направлений, будет также отличаться от нормированного спектра источника. Это действительно было продемонстрировано в экспериментах Мориса и Факлиса. Их результаты приведены на рис. 5.51.

Мы подчеркиваем, что закон скейлинга представляет собой условие для спектральной инвариантности плоского, вторичного, квазиоднородного источника в дальней зоне. Вблизи источника спектр поля может отличаться как от спектра в дальней зоне, так и от спектра источника.