Главная > Оптическая когерентность и квантовая оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.3.2. Корреляции второго порядка в пространственно-частотной области. Взаимная спектральная плотность и спектральная степень когерентности

Как нам известно из разд. 2.4, одним из важнейших понятий общей теории стохастических процессов является взаимная спектральная плотность (2.4.35). Рассмотрим это понятие применительно к теории оптической когерентности.

Пусть как и ранее, обозначает аналитический сигнал, характеризующий флуктуирующее оптическое поле в пространственно-временной точке Предположим, что оптическое поле является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, и эргодичным. Представим в виде интеграла Фурье (в смысле теории обобщенных функций) по временной переменной:

Функция взаимной спектральной плотности (спектр взаимной мощности) световых возмущений в точках на частоте может быть определена выражением [ср. (2.4.35)]

где среднее (по ансамблю) в левой части (4.3.39) берется по различным реализациям поля, правой части представляет собой дельта-функцию Дирака. Из (4.3.39) очевидно, что взаимная спектральная плотность является мерой корреляции между спектральными амплитудами произвольной частотной компоненты световых колебаний в точках

Согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина [(2.4.37), (2.4.38)] функция взаимной когерентности и взаимная спектральная плотность образуют пару относительно преобразований Фурье:

В частном случае, когда точки совпадают, взаимная спектральная плотность становится функцией положения только одной точки и частоты, и эта функция представляет собой спектральную плотность (спектр мощности) света. Мы будем обозначать ее через

Из (4.3.40а) и (4.3.41) получаем

Отметим ряд свойств взаимной спектральной плотности. Исходя из (4.3.36) и (4.3.406), она, очевидно, эрмитова, в том смысле, что

Согласно (2.4.40) она является неотрицательно определенной функцией: для любых точек произвольное целое положительное число), для любых действительных или комплексных чисел и для любой частоты

В частности, при из (4.3.44) и (4.3.41) следует, что спектральная плотность света является неотрицательной функцией

что, собственно говоря, очевидно, так как по смыслу спектральная плотность является мерой средней плотности энергии в точке на частоте Полагая из (4.3.44) получим

Полезно осуществить нормировку взаимной спектральной плотности, положив

Исходя из (4.3.46), имеем

для всех значений аргументов Мы будем называть величину спектральной степенью когерентности на частоте света в точках Она иногда упоминается также как комплексная степень пространственной (или спектральной) когерентности на частоте (см. Wolf and Carter, 1975, 1976; Mandel and Wolf, 1976; Bastiaans, 1977).

Возможно, стоит отметить, что, несмотря на некоторое формальное сходство в определениях комплексных степеней когерентности и на то, что образуют пару относительно преобразований Фурье, вообще говоря, не являются фурье-образами друг друга. Соотношение между двумя степенями когерентности обсуждается в работе Фрайберга и Вольфа (Friberg and Wolf, 1995).

Вернемся вновь к эксперименту по двухлучевой интерференции, обсуждавшемуся в разд. 4.3.1, схема которого приведена на рис. 4.6. Проанализируем соотношение между спектральной плотностью света, выходящего из отверстий, и спектральной плотностью света, достигающего плоскости наблюдения Для этого произведем обобщение (4.3.10), а именно, выражения для функции автокогерентности

которое предпочтительнее, чем выражение для средней интенсивности в точке плоскости наблюдения. Подставляя выражение для из (4.3.2) в (4.3.49), находим

Учитывая, что поле стационарно, по крайней мере, в широком смысле, имеем и т.д., тогда (4.3.50) может быть записано в виде

Умножим обе части (4.3.51) на и проинтегрируем по от до При этом мы можем пренебречь слабой зависимостью множителей в правой части (4.3.51) от частоты, поскольку свет предполагается квазимонохроматическим. Тогда, с учетом (4.3.406), мы получаем следующее выражение для спектральной плотности в точке плоскости наблюдения:

Из тех же соображений, что были нами приведены касательно выражения (4.3.14а), следует, что первый член в правой части (4.3.52), а именно,

представляет собой спектральную плотность на частоте света, приходящего в точку только из отверстия По аналогии второй член в правой части (4.3.52), а именно,

представляет собой спектральную плотность света, приходящего в точку только из отверстия

Два последних члена в правой части (4.3.52) могут быть легко выражены через Из выражений (4.3.47), (4.3.53а) и (4.3.536), с учетом того, что множители чисто мнимые, имеем

Теперь преобразуем формулу (4.3.52), воспользовавшись полученным соотношением, а также выражениями (4.3.53) и (4.3.43). Напомним также, что взаимная спектральная плотность при условии равенства между собой двух ее пространственных аргументов переходит в спектральную плотность [(4.3.41)], и что (см. рис. 4.6). С учетом всего сказанного из (4.3.52) получим следующее выражение для спектральной плотности света в точке плоскости наблюдения 38:

Из формулы (4.3.54), иногда называемой законом спектральной интерференции, видно, что в общем случае спектральная плотность света в точке не равна сумме спектральных плотностей двух пучков, приходящих в точку от двух отверстий. Она отличается от этой суммы наличием последнего члена в правой части формулы. Это член зависит от спектральной степени когерентности света в двух отверстиях. Из (4.3.54), в частности, следует, что даже если два пучка имеют одинаковое спектральное распределение, т.е. если спектральное распределение света, полученное в результате суперпозиции этих пучков, будет другим. Изменения спектра, возникающие в результате интерференции, будут обсуждаться в разд. 5.8.

Заметим, что выражение (4.3.54) для спектральной плотности в точке плоскости 38 похоже на выражение (4.3.15) для средней интенсивности. Это сходство наводит на мысль, что возможно имеет смысл ввести, по аналогии с (4.3.23), понятие спектральной видности. Несколько позднее мы так и поступим Пока же отметим, что закон спектральной интерференции и понятие спектральной видности нашли полезные приложения (см., например, Heiniger, Herden and Tschudi, 1983 и James, Kandpal and Wolf, 1995).

Взаимная спектральная плотность и спектральная плотность могут быть, в принципе, определены из измерений функции взаимной когерентности и функции автокогерентности с помощью преобразования Фурье (4.3.406). В этом случае спектральная степень когерентности может быть найдена по формуле (4.3.476). С другой стороны, ее можно определить с помощью узкополосных фильтров, что мы сейчас покажем, следуя анализу, проведенному Вольфом (Wolf, 1983).

Как мы уже знаем, функцию взаимной когерентности света в двух отверстиях (интерференционный эксперимент Юнга) можно найти, измерив средние интенсивности света в этих отверстиях, а также видность и положение максимумов интерференционных полос. Теперь заметим, что функция взаимной когерентности согласно (4.3.40а) есть ни что иное, как фурье-образ взаимной спектральной плотности которая может быть определена из выражения (4.3.39).

Предположим, что после каждого из отверстий мы разместили одинаковые узкополосные фильтры. Пусть комплексная функция пропускания каждого фильтра. Тогда взаимную спектральную плотность света на выходе фильтров можно найти по формуле (4.3.39), заменив величиной

Поскольку детерминированная функция, ее можно вынести за знак усреднения в выражении (4.3.55). Тогда, используя (4.3.39), получим следующее соотношение между взаимными спектральными плотностями фильтрованного и нефильтрованного света в двух отверстиях:

Выражения (4.3.56) и (4.3.40а) позволяют сразу же записать функцию взаимной когерентности фильтрованного света в двух отверстиях в виде

Рис. 4.8. Соотношение между частотными зависимостями модуля функции пропускания фильтров, помещенных перед отверстиями (интерференционный эксперимент Юнга) и абсолютного значения взаимной спектральной плотности нефильтрованного света в этих отверстиях. Предполагается, что эффективные полосы пропускания фильтров являются настолько узкими, что при фиксированных как модуль, так и фаза функции [а также постоянны в пределах полосы пропускания фильтра

Предположим теперь, что каждый фильтр имеет полосу пропускания с эффективной шириной и центральной частотой Пусть взаимная спектральная плотность света, падающего на отверстия, является непрерывной функцией и пусть интервал настолько мал, что существенно не меняется в пределах эффективной полосы пропускания фильтров (см. рис. 4.8). Тогда мы можем заменить под знаком интеграла в (4.3.57) на и получим следующее выражение для

Аналогично, если спектральные плотности света в двух отверстиях представляют собой непрерывные функции частоты и интервал достаточно мал, то с хорошей степенью точности имеем

Из формул (4.3.58) и (4.3.59) следует, что, зная функцию пропускания фильтров можно найти взаимную спектральную плотность и спектральные плотности света, падающего на отверстия, измерив функцию взаимной когерентности и функцию автокогерентности фильтрованного света, соответственно.

Подставляя (4.3.58) и (4.3.59) в (4.3.12а), получим следующее выражение для комплексной степени когерентности фильтрованного света, идущего от двух отверстий:

где

Множитель в правой части выражения (4.3.60), представляет собой в точности спектральную степень когерентности на частоте нефильтрованного света в двух отверстиях. Кроме того, он также равен спектральной степени когерентности фильтрованного света, что можно легко увидеть, подставляя (4.3.56) в (4.3.476), заменяя на сравнивая полученное выражение с (4.3.61). Таким образом, спектральная степень когерентности при фильтрации остается неизменной. С другой стороны, нетрудно показать, что комплексная степень когерентности для нефильтрованного и фильтрованного света отличаются друг от друга. Другой множитель в правой части выражения (4.3.60), является согласно (4.3.62) нормированным фурье-образом квадрата модуля функции пропускания каждого фильтра.

Из (4.3.60) очевидно, что как функция достигает максимума, когда максимально, т.е. при Более того, поскольку имеем

Эта формула означает, что «равновременная» комплексная степень когерентности фильтрованного света в двух отверстиях равна спектральной степени когерентности нефильтрованного (равно как и фильтрованного) света на средней частоте фильтров. Отсюда ясно, что как модуль, так и фазу спектральной степени когерентности можно определить из интерференционного эксперимента, описанного в разд. 4.3.1, поместив за каждым отверстием одинаковые фильтры с достаточно узкими полосами пропускания.

Поскольку, при фиксированном положении отверстий, достигает максимума при интерференционные полосы, формируемые фильтрованным светом, будут наиболее резкими вблизи центра интерферограммы, т.е. в окрестности точки, равноудаленной от обоих отверстий. Согласно (4.3.48), модуль спектральной степени когерентности может принимать любые значения от нуля до единицы, включая оба граничных значения. Тогда из выражений (4.3.63), (4.3.60) и соотношения (4.3.25) между видностью полос следует, что максимум видности интерференционных полос, формируемых фильтрованным светом, в общем случае не будет стремиться к единице по мере сужения полосы пропускания фильтров. Предполагается, что измерения проводятся во временном масштабе, подразумевающем усреднение по временному интервалу, значительно превышающему обратную ширину полосы фильтров, и что приемник достаточно чувствителен для измерения ослабленных интенсивностей фильтрованного света. Фактически нетрудно создать условия, при которых максимум видности будет иметь любое значение из интервала вне зависимости от того, насколько узкой может быть эффективная ширина полосы фильтров. Необходимо только направить на отверстия свет от удаленного, пространственно некогерентного, однородного, круглого, квазимонохроматического источника со средней частотой в окрестности расположенного симметрично по отношению к отверстиям. Подходящее расстояние между отверстиями может быть легко вычислено с помощью теоремы Ван Циттерта — Цернике (см. разд. 4.4.4).

Хотя в условиях применимости формулы (4.3.60) максимум видности интерференционных полос не будет изменяться по мере дальнейшего сужения полосы частот фильтров, интерференционная картина, тем не менее, все же будет меняться. Если уменьшается при фиксированном коэффициенте пропускания фильтров на средней частоте эффективная ширина увеличивается, что может быть легко получено из (4.3.62). Следовательно, эффективная ширина (при фиксированных также будет расти, что, очевидно, следует из (4.3.60). Это означает, что видность полос в плоскости наблюдения будет в этом случае спадать медленнее по мере удаления от центра интерференционной картины.

В формуле (4.3.60) для комплексной степени когерентности фильтрованного света свойства пространственной когерентности, характеризуемые и свойства временной когерентности, характеризуемые полностью разграничены. Это разделение является проявлением так называемой взаимной спектральной чистоты фильтрованного света, которую мы рассмотрим в разд. 4.5.1.

1
Оглавление
email@scask.ru