4.3.2. Корреляции второго порядка в пространственно-частотной области. Взаимная спектральная плотность и спектральная степень когерентности

Как нам известно из разд. 2.4, одним из важнейших понятий общей теории стохастических процессов является взаимная спектральная плотность (2.4.35). Рассмотрим это понятие применительно к теории оптической когерентности.

Пусть как и ранее, обозначает аналитический сигнал, характеризующий флуктуирующее оптическое поле в пространственно-временной точке Предположим, что оптическое поле является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, и эргодичным. Представим в виде интеграла Фурье (в смысле теории обобщенных функций) по временной переменной:

Функция взаимной спектральной плотности (спектр взаимной мощности) световых возмущений в точках на частоте может быть определена выражением [ср. (2.4.35)]

где среднее (по ансамблю) в левой части (4.3.39) берется по различным реализациям поля, правой части представляет собой дельта-функцию Дирака. Из (4.3.39) очевидно, что взаимная спектральная плотность является мерой корреляции между спектральными амплитудами произвольной частотной компоненты световых колебаний в точках

Согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина [(2.4.37), (2.4.38)] функция взаимной когерентности и взаимная спектральная плотность образуют пару относительно преобразований Фурье:

В частном случае, когда точки совпадают, взаимная спектральная плотность становится функцией положения только одной точки и частоты, и эта функция представляет собой спектральную плотность (спектр мощности) света. Мы будем обозначать ее через

Из (4.3.40а) и (4.3.41) получаем

Отметим ряд свойств взаимной спектральной плотности. Исходя из (4.3.36) и (4.3.406), она, очевидно, эрмитова, в том смысле, что

Согласно (2.4.40) она является неотрицательно определенной функцией: для любых точек произвольное целое положительное число), для любых действительных или комплексных чисел и для любой частоты

В частности, при из (4.3.44) и (4.3.41) следует, что спектральная плотность света является неотрицательной функцией

что, собственно говоря, очевидно, так как по смыслу спектральная плотность является мерой средней плотности энергии в точке на частоте Полагая из (4.3.44) получим

Полезно осуществить нормировку взаимной спектральной плотности, положив

Исходя из (4.3.46), имеем

для всех значений аргументов Мы будем называть величину спектральной степенью когерентности на частоте света в точках Она иногда упоминается также как комплексная степень пространственной (или спектральной) когерентности на частоте (см. Wolf and Carter, 1975, 1976; Mandel and Wolf, 1976; Bastiaans, 1977).

Возможно, стоит отметить, что, несмотря на некоторое формальное сходство в определениях комплексных степеней когерентности и на то, что образуют пару относительно преобразований Фурье, вообще говоря, не являются фурье-образами друг друга. Соотношение между двумя степенями когерентности обсуждается в работе Фрайберга и Вольфа (Friberg and Wolf, 1995).

Вернемся вновь к эксперименту по двухлучевой интерференции, обсуждавшемуся в разд. 4.3.1, схема которого приведена на рис. 4.6. Проанализируем соотношение между спектральной плотностью света, выходящего из отверстий, и спектральной плотностью света, достигающего плоскости наблюдения Для этого произведем обобщение (4.3.10), а именно, выражения для функции автокогерентности

которое предпочтительнее, чем выражение для средней интенсивности в точке плоскости наблюдения. Подставляя выражение для из (4.3.2) в (4.3.49), находим

Учитывая, что поле стационарно, по крайней мере, в широком смысле, имеем и т.д., тогда (4.3.50) может быть записано в виде

Умножим обе части (4.3.51) на и проинтегрируем по от до При этом мы можем пренебречь слабой зависимостью множителей в правой части (4.3.51) от частоты, поскольку свет предполагается квазимонохроматическим. Тогда, с учетом (4.3.406), мы получаем следующее выражение для спектральной плотности в точке плоскости наблюдения:

Из тех же соображений, что были нами приведены касательно выражения (4.3.14а), следует, что первый член в правой части (4.3.52), а именно,

представляет собой спектральную плотность на частоте света, приходящего в точку только из отверстия По аналогии второй член в правой части (4.3.52), а именно,

представляет собой спектральную плотность света, приходящего в точку только из отверстия

Два последних члена в правой части (4.3.52) могут быть легко выражены через Из выражений (4.3.47), (4.3.53а) и (4.3.536), с учетом того, что множители чисто мнимые, имеем

Теперь преобразуем формулу (4.3.52), воспользовавшись полученным соотношением, а также выражениями (4.3.53) и (4.3.43). Напомним также, что взаимная спектральная плотность при условии равенства между собой двух ее пространственных аргументов переходит в спектральную плотность [(4.3.41)], и что (см. рис. 4.6). С учетом всего сказанного из (4.3.52) получим следующее выражение для спектральной плотности света в точке плоскости наблюдения 38:

Из формулы (4.3.54), иногда называемой законом спектральной интерференции, видно, что в общем случае спектральная плотность света в точке не равна сумме спектральных плотностей двух пучков, приходящих в точку от двух отверстий. Она отличается от этой суммы наличием последнего члена в правой части формулы. Это член зависит от спектральной степени когерентности света в двух отверстиях. Из (4.3.54), в частности, следует, что даже если два пучка имеют одинаковое спектральное распределение, т.е. если спектральное распределение света, полученное в результате суперпозиции этих пучков, будет другим. Изменения спектра, возникающие в результате интерференции, будут обсуждаться в разд. 5.8.

Заметим, что выражение (4.3.54) для спектральной плотности в точке плоскости 38 похоже на выражение (4.3.15) для средней интенсивности. Это сходство наводит на мысль, что возможно имеет смысл ввести, по аналогии с (4.3.23), понятие спектральной видности. Несколько позднее мы так и поступим Пока же отметим, что закон спектральной интерференции и понятие спектральной видности нашли полезные приложения (см., например, Heiniger, Herden and Tschudi, 1983 и James, Kandpal and Wolf, 1995).

Взаимная спектральная плотность и спектральная плотность могут быть, в принципе, определены из измерений функции взаимной когерентности и функции автокогерентности с помощью преобразования Фурье (4.3.406). В этом случае спектральная степень когерентности может быть найдена по формуле (4.3.476). С другой стороны, ее можно определить с помощью узкополосных фильтров, что мы сейчас покажем, следуя анализу, проведенному Вольфом (Wolf, 1983).

Как мы уже знаем, функцию взаимной когерентности света в двух отверстиях (интерференционный эксперимент Юнга) можно найти, измерив средние интенсивности света в этих отверстиях, а также видность и положение максимумов интерференционных полос. Теперь заметим, что функция взаимной когерентности согласно (4.3.40а) есть ни что иное, как фурье-образ взаимной спектральной плотности которая может быть определена из выражения (4.3.39).

Предположим, что после каждого из отверстий мы разместили одинаковые узкополосные фильтры. Пусть комплексная функция пропускания каждого фильтра. Тогда взаимную спектральную плотность света на выходе фильтров можно найти по формуле (4.3.39), заменив величиной

Поскольку детерминированная функция, ее можно вынести за знак усреднения в выражении (4.3.55). Тогда, используя (4.3.39), получим следующее соотношение между взаимными спектральными плотностями фильтрованного и нефильтрованного света в двух отверстиях:

Выражения (4.3.56) и (4.3.40а) позволяют сразу же записать функцию взаимной когерентности фильтрованного света в двух отверстиях в виде

Рис. 4.8. Соотношение между частотными зависимостями модуля функции пропускания фильтров, помещенных перед отверстиями (интерференционный эксперимент Юнга) и абсолютного значения взаимной спектральной плотности нефильтрованного света в этих отверстиях. Предполагается, что эффективные полосы пропускания фильтров являются настолько узкими, что при фиксированных как модуль, так и фаза функции [а также постоянны в пределах полосы пропускания фильтра

Предположим теперь, что каждый фильтр имеет полосу пропускания с эффективной шириной и центральной частотой Пусть взаимная спектральная плотность света, падающего на отверстия, является непрерывной функцией и пусть интервал настолько мал, что существенно не меняется в пределах эффективной полосы пропускания фильтров (см. рис. 4.8). Тогда мы можем заменить под знаком интеграла в (4.3.57) на и получим следующее выражение для

Аналогично, если спектральные плотности света в двух отверстиях представляют собой непрерывные функции частоты и интервал достаточно мал, то с хорошей степенью точности имеем

Из формул (4.3.58) и (4.3.59) следует, что, зная функцию пропускания фильтров можно найти взаимную спектральную плотность и спектральные плотности света, падающего на отверстия, измерив функцию взаимной когерентности и функцию автокогерентности фильтрованного света, соответственно.

Подставляя (4.3.58) и (4.3.59) в (4.3.12а), получим следующее выражение для комплексной степени когерентности фильтрованного света, идущего от двух отверстий:

где

Множитель в правой части выражения (4.3.60), представляет собой в точности спектральную степень когерентности на частоте нефильтрованного света в двух отверстиях. Кроме того, он также равен спектральной степени когерентности фильтрованного света, что можно легко увидеть, подставляя (4.3.56) в (4.3.476), заменяя на сравнивая полученное выражение с (4.3.61). Таким образом, спектральная степень когерентности при фильтрации остается неизменной. С другой стороны, нетрудно показать, что комплексная степень когерентности для нефильтрованного и фильтрованного света отличаются друг от друга. Другой множитель в правой части выражения (4.3.60), является согласно (4.3.62) нормированным фурье-образом квадрата модуля функции пропускания каждого фильтра.

Из (4.3.60) очевидно, что как функция достигает максимума, когда максимально, т.е. при Более того, поскольку имеем

Эта формула означает, что «равновременная» комплексная степень когерентности фильтрованного света в двух отверстиях равна спектральной степени когерентности нефильтрованного (равно как и фильтрованного) света на средней частоте фильтров. Отсюда ясно, что как модуль, так и фазу спектральной степени когерентности можно определить из интерференционного эксперимента, описанного в разд. 4.3.1, поместив за каждым отверстием одинаковые фильтры с достаточно узкими полосами пропускания.

Поскольку, при фиксированном положении отверстий, достигает максимума при интерференционные полосы, формируемые фильтрованным светом, будут наиболее резкими вблизи центра интерферограммы, т.е. в окрестности точки, равноудаленной от обоих отверстий. Согласно (4.3.48), модуль спектральной степени когерентности может принимать любые значения от нуля до единицы, включая оба граничных значения. Тогда из выражений (4.3.63), (4.3.60) и соотношения (4.3.25) между видностью полос следует, что максимум видности интерференционных полос, формируемых фильтрованным светом, в общем случае не будет стремиться к единице по мере сужения полосы пропускания фильтров. Предполагается, что измерения проводятся во временном масштабе, подразумевающем усреднение по временному интервалу, значительно превышающему обратную ширину полосы фильтров, и что приемник достаточно чувствителен для измерения ослабленных интенсивностей фильтрованного света. Фактически нетрудно создать условия, при которых максимум видности будет иметь любое значение из интервала вне зависимости от того, насколько узкой может быть эффективная ширина полосы фильтров. Необходимо только направить на отверстия свет от удаленного, пространственно некогерентного, однородного, круглого, квазимонохроматического источника со средней частотой в окрестности расположенного симметрично по отношению к отверстиям. Подходящее расстояние между отверстиями может быть легко вычислено с помощью теоремы Ван Циттерта — Цернике (см. разд. 4.4.4).

Хотя в условиях применимости формулы (4.3.60) максимум видности интерференционных полос не будет изменяться по мере дальнейшего сужения полосы частот фильтров, интерференционная картина, тем не менее, все же будет меняться. Если уменьшается при фиксированном коэффициенте пропускания фильтров на средней частоте эффективная ширина увеличивается, что может быть легко получено из (4.3.62). Следовательно, эффективная ширина (при фиксированных также будет расти, что, очевидно, следует из (4.3.60). Это означает, что видность полос в плоскости наблюдения будет в этом случае спадать медленнее по мере удаления от центра интерференционной картины.

В формуле (4.3.60) для комплексной степени когерентности фильтрованного света свойства пространственной когерентности, характеризуемые и свойства временной когерентности, характеризуемые полностью разграничены. Это разделение является проявлением так называемой взаимной спектральной чистоты фильтрованного света, которую мы рассмотрим в разд. 4.5.1.