11.13. Поле, создаваемое классическим током
До сих пор мы обсуждали когерентные состояния электромагнитного поля только математически. Мы показали, что они имеют интересные свойства и образуют полезное представление. Однако, мы пока еще не указали, как можно создавать такие состояния. Перед тем, как закончить обсуждение когерентных состояний, мы исправим эту ситуацию, рассмотрев, по крайней мере, один пример, в котором источник излучения создает когерентное состояние поля. Мы покажем, что классическое, заданное распределение тока всегда создает электромагнитное поле в когерентном состоянии. Это впервые было показано Глаубером (Glauber, 1963b). Хотя тема взаимодействия излучения с веществом относится к последующим главам, вычисление будет очень простым и даст хорошую иллюстрацию развитого формализма.
Рассмотрим квантовое электромагнитное поле, задаваемое векторным потенциалом 
которое взаимодействует с классическим электрическим током, описываемым векторной плотностью тока 
Тогда, как хорошо известно из электромагнитной теории, гамильтониан взаимодействия 
определяется интегралом по всему пространству
Мы будем считать ток классическим с-числовым током, который не изменяется при взаимодействии с полем. С другой стороны, поле будем рассматривать как квантованную систему, в которой полевые векторы являются операторами гильбертова пространства. Удобно перейти в картину взаимодействия, в которой полевые операторы эволюционируют во времени точно также, как эволюционировали бы в отсутствии взаимодействия. Используя разложение (10.4.38) для 
получаем для 
следующее выражение
где
можно рассматривать как фурье-образ плотности тока. Теперь учтем, что инфинитезимальный оператор эволюции в картине взаимодействия, описывающий эволюцию состояния между моментами времени 
задается выражением
Используя разложение (11.13.2) для 
и вводя обозначение
можно выразить 
в компактном виде 
где 
есть уже известный оператор смещения, определяемый выражением (11.3. 7). Следовательно, оператор плотности 
в момент времени 
связан с оператором плотности 
в момент 
соотношением
Мы уже показали, что состояние, возникающее в результате действия оператора смещения 
на вакуумное состояние 
является когерентным состоянием 
и что состояние, возникающее при воздействии 
на когерентное состояние 
есть когерентное состояние 
с точностью до фазового множителя [см. (11.3.15)]. Применяя эти результаты к многомодовому случаю (11.13.7), мы сразу видим, что если начальное состояние электромагнитного поля при 
представляет собой вакуумное состояние
и если в этот момент времени включается классический ток, то в момент 
Действуя многократно дифференциальными операторами смещения, находим, что через конечный промежуток времени 
оператор плотности будет иметь вид
где 
многомодовое когерентное состояние, 
задается выражением
Состояние поля зависит от тока непрерывным образом, но всегда остается когерентным, если источник представляет собой заданный классический ток.
Мы видим, таким образом, что когерентное состояние поля является не только математической конструкцией, обладающей интересными свойствами, но оно и довольно ясно реализуемо. Более того, данный пример опять показывает, что когерентное состояние является квантовым состоянием, которое тесно связано с классическими полями через классические источники. Если начальный ток определен не полностью, а только статистически, так что каждую реализацию ансамбля можно рассматривать как заданный классический ток, то оператор плотности 
будет представлять собой смесь когерентных состояний
где весовой функционал 
есть теперь истинный функционал классической вероятности. Причина этого, конечно, в том, что он отражает неопределенность в описании классического тока, а не квантовые неопределенности, возникающие из-за взаимодействия квантовых систем.
Задачи
(см. скан)
