21.3.2. Действие оператора сжатия на произвольное состояние

Нетрудно показать, при том же значении что оператор сжатия действуя на произвольное квантовое состояние, уменьшает дисперсию с тем же самым коэффициентом Рассмотрим одномодовое электромагнитное поле в состоянии, описываемом матрицей плотности Запишем диагональное представление по когерентным состояниям (см. разд. 11.8) в виде

Первые два момента в этом состоянии есть

поэтому

Символ обозначает операцию усреднения с помощью весовой функции независимо от того, является ли истинной плотностью вероятности, или нет.

Под действием оператора сжатия начальное состояние матрицы плотности принимает вид

Первый момент в новом состоянии задается, следовательно, выражением

и с помощью (21.3.15) мы получаем формулу

Подобным образом находим из (21.3.16), что

Отсюда следует, что дисперсия в новом состоянии имеет вид

Сравнивая выражения (21.3.18) и (21.3.22), мы видим, что при

что и требовалось доказать.