14.6.2. Корреляции фототоков

Как и прежде, предположим, что когда в момент времени имеет место фотоэмиссия, то каждый фотодетектор выдает после усиления стандартный короткий импульс формы, показанной на рис. 9.5. Будем обозначать этот импульс через Площадь под каждым импульсом есть полная энергия, переносимая импульсом

равная нулю для усилителя, который, как в эксперименте Хэнбери Брауна — Твисса, не передает прямой ток. Длительность импульса является величиной порядка обратной ширины полосы пропускания усилителя. В таком случае токи выходящие из двух детекторов/усилителей можно выразить в виде

где сумма должна браться по различным временам в которые происходит фотоэмиссия. Теперь можно использовать наше дифференциальное выражение для вероятностей детектирования при вычислении средних от и их корреляционных функций. Тогда в стационарном состоянии имеем

потому что и аналогично для тогда как

при задаваемым выражением (14.6.6). Этот результат аналогичен результату, полученному с помощью полуклассической теории (разд. 9.8). Для света, который является взаимно спектрально чистым (см. разд. 4.5.1), может быть факторизована в виде

где нормированная автокорреляционная функция поля или, другими словами, фурье-образ нормированной спектральной плотности. В данном эксперименте поле имело полосу частот, равную многим тысячам Таким образом, диапазон, на котором существенно отлична от нуля и который является временем когерентности света, очень мал по сравнению с аналогичным диапазоном на рис. 9.5, и можно рассматривать под знаком интеграла в (14.6.10) почти как дельта-функцию. В таком случае с помощью (14.6.9) и (14.6.11), находим, что

Рис. 14.4. Иллюстрация типичной формы

где мы воспользовались тем фактом, что интеграл

представляет собой естественную меру времени когерентности света, потому что равна 1 при и существенно отлична от нуля на интервале порядка как показано на рис. 14.4. С этой же самой величиной мы уже встречались в формулах (2.4.29) и (4.3.82). Из (14.6.12) видно, что корреляция токов пропорциональна квадрату степени когерентности, что и наблюдалось в эксперименте.

Больший интерес, чем представляет собой нормированный коэффициент взаимной корреляции

для которого нам необходимы дисперсии каждого из токов и взаимная корреляционная функция. В целях большей общности вычислим автокорреляционную функцию Вычисление очень напоминает предшествующее, но с одним важным отличием. Из (14.6.8) получаем

где, как и в разд. 9.8, мы разделили сумму на вклады, которые включают только единичные фотоэмиссии, и вклады, включающие пары фотоэмиссий. Для первого члена нет аналога во взаимной корреляционной функции. Усреднение выполняется, как и прежде, с помощью дифференциальных выражений для вероятности и мы находим, что (ср. разд. 9.8 при полуклассическом рассмотрении):

Когда при определяемой выражением (14.6. 6), и при тех же допущениях, что и прежде, это выражение сводится к

Из (14.6.15) и (14.6.16) видно, что флуктуации токов можно выразить через сумму двух членов, первый из которых не зависит от свойств когерентности падающего света, тогда как второй член зависит от или от Первый член может быть приписан флуктуационному шуму фотоэлектрического тока, тогда как второй член зависит от флуктационных свойств оптического поля. Теперь, используя аналогичное выражение для и учитывая (14.6.12), находим для корреяционного коэффициента определяемого формулой (14.6.14), следующее выражение

которое дальше можно упростить:

где

Важный параметр 8, возникающий здесь естественным образом, есть мера среднего числа фотоэлектрических эмиссий, производимых пространственно когерентным световым лучом на каждом детекторе за время, равное времени когерентности Очевидно, что он определяет величину корреляционного коэффициента Когда 8 большое число, но когда 8 малое, становится много меньше Именно в силу того, что в эксперименте Хэнбери Брауна — Твисса 8 было очень малым числом, и в силу преобладания флуктационного шума во флуктуациях токов, в соответствии с (14.6.18), было очень сложно производить измерения корреляций и ошибка на рис. 9.66 была очень большой.

Можно понять, почему этого следовало ожидать, если заметить, что представляет собой среднее число фотонов, падающих на фотодетектор за время, равное времени когерентности. Мы предположили, что размеры фотокатода достаточно малы, чтобы поле имело вид плоской волны и, таким образом, размеры катода были бы меньше области когерентности. Следовательно, число меньше числа фотонов в объеме когерентности, или так называемого параметра вырождения, и, как мы видели в разд. 13.1, для света, производимого тепловым источником при температурах ниже 105 К, число заселения фотонами моды меньше единицы. Следовательно, можно ожидать, что будет много меньше единицы, а 8 будет существенно меньше единицы, как это и имело место в эксперименте.

Наконец, после выполнения фурье-преобразования каждого члена в (14.6.15), мы получаем выражение для спектральной плотности фотоэлектрического тока. Это приводит к соотношению

в котором представляет собой частотный отклик комбинации фотодетектор-усилитель,

есть спектральная плотность нормированной корреляционной функции интенсивности

Для классического поля и второй член в (14.6.19) описывает дополнительную флуктуацию фототока сверх дробового шума фототока, возникающего из-за наличия флуктуирующего электромагнитного поля. Однако, как мы еще увидим в гл. 21, замечательным свойством квантового поля является то, что существуют состояния, для которых и которые называются сжатыми состояниями. Включение пучка сжатого света, падающего на детектор, привело бы к эффекту понижения флуктуаций фототоков ниже уровня флуктуационного шума.