17.3.4. Применение к задаче Дике

В качестве следующего примера рассмотрим приложение уравнения (17.3.16) к задаче Дике, которая рассматривалась в главе 16, то есть к задаче взаимодействия группы близко расположенных, одинаковых двухуровневых атомов с электромагнитным полем (Agarwal, 1973, 1974). Перейдем сразу в картину взаимодействия и предположим, что атомы находятся в начале системы координат. Для простоты с самого начала воспользуемся приближением вращающейся волны и опустим члены, осциллирующие на удвоенной частоте, так что гамильтониан взаимодействия запишется в виде [ср.(15.4.3)]

где — коллективный атомный понижающий оператор [см. (16.5.2)], а константа связи определяется формулой

Все обозначения имеют тот же смысл, что и в главе 15. Поскольку мы с самого начала воспользовались приближением вращающейся волны, наш расчет будет правильно описывать динамику системы, но не даст правильной величины частотных сдвигов.

Пусть начальное состояние связанной системы атомов и поля представляется в виде прямого произведения операторов плотности, причем поле находится в вакуумном состоянии

Далее мы сосредоточим свое внимание на атомной системе А и отождествим «резервуар» с полем так что проекционный оператор будем задавать следующим образом:

В этих условиях слагаемое в уравнении (17.3.16) определяется формулой

поскольку

Более того,

так что и первое и второе слагаемые в правой части уравнения (17.3.16) равны нулю.

С помощью соотношения (17.3.29) и приближения под знаком интеграла, которое иногда называют борновским приближением, уравнение (17.3.16) сводится к следующему:

и после подстановки из (17.3.28) имеем

Замена в последнем интеграле дает

Сделаем дополнительное приближение, заменив оператор под знаком интеграла его значением в наиболее поздний момент времени что часто называют марковским приближением или приближением кратковременной памяти [ср. также вывод формулы (15.5.20)]. Тогда окончательно получим

После подстановки из (17.3.25) мы обнаружим, что каждое слагаемое под интегралом разбивается на сумму четырех слагаемых, содержащих величины и . Из них не равно нулю только последнее, а именно,

так что получаем уравнение

В пределе сумма по к, как обычно, превращается в интеграл. Фактически, вычисление выражения очень похоже на то, которое было сделано в гл. 15 при выводе формулы (15.5.21), если не считать того, что вследствие приближения вращающейся волны здесь отсутствуют слагаемые, осциллирующие на удвоенной частоте. Полагая, что запишем, как и раньше,

где половина коэффициента Эйнштейна частотный сдвиг. Тогда (17.3.34) принимает вид

Уравнение (17.3.36) и есть то самое основное кинетическое уравнение, которое описывает спонтанное излучение коллективной атомной системы. Можно показать, что в присутствии классического поля, амплитуда которого характеризуется частотой Раби (ср. разд. 15.3), в правой части уравнения (17.3.36) появится дополнительное слагаемое — Такое уравнение использовалось для исследования резонансной флуоресценции ансамбля атомов (Bonifacio, Schwendimann and Haake, 1971; Agarwal, Brown, Narducci and Vetri, 1977; Agarwal, Feng, Narducci, Gilmore and Tuft 1979) и оптической бистабильности (Carmichael and Walls, 1977; Narducci, Gilmore, Feng and Agarwal, 1978).

В качестве простого применения уравнения (17.3.36) вычислим с его помощью скорость потери энергии атомной системой. Поскольку скорость потери энергии пропорциональна скорости изменения умножим каждое слагаемое в (17.3.36) на справа и возьмем след. В результате получим

Теперь воспользуемся соотношениями

которые следуют из определения коллективных операторов [см. (16.5.2)] и соотношением

которое следует из формулы (17.3.39). Последний результат позволяет нам упростить (17.3.37) и записать

Учитывая соотношение (17.3.38), приходим к уравнению

Предположим теперь, что атомная система находится в состоянии Дике где полуразность населенностей, I — кооперационное число (см. разд. 16.5) и Тогда с помощью соотношений (16.5.15) сразу получим уравнение

Данный результат совпадает с результатом, полученным в разд. 16.6 [ср. (16.6.3)]. Скорость излучения имеет наибольшее значение когда система наполовину инвертирована, т.е. когда Это и есть сверхизлучательное состояние, рассмотренное ранее.

17.3.5. Линейное затухание недиагональных матричных элементов

Уравнение (17.3.36), определяющее скорость изменения оператора плотности совокупности атомов, фактически справедливо для систем с линейным затуханием вообще. Например, оно применимо для одномодового электромагнитного поля, линейно затухающего вследствие какого-то механизма потерь, такого, как тепловой резервуар гармонических осцилляторов, которому может передаваться энергия. В этом случае мы можем отождествить и с полевыми операторами рождения и уничтожения получить уравнение движения

Это другой вариант основного кинетического уравнения для линейно-затухающей системы, когда

Воспользуемся данным уравнением для того, чтобы показать, что недиагональные элементы в базисе чисел заполнения быстро затухают во времени. Если умножить уравнение (17.3.43) на слева и на справа и положить то получим соотношение

Теперь, если шип — умеренно большие числа, и медленно изменяется при изменении то в хорошем приближении можно заменить на Тогда

Это простое линейное дифференциальное уравнение имеет решение

из которого сразу видно, что недиагональные матричные элементы затухают со временем до нуля. Более того, чем больше недиагональность, измеряемая величиной тем больше скорость затухания. Таким образом, оператор плотности много времени спустя становится диагональным в базисе чисел заполнения (Walls and Milburn, 1985).