11.8.5. Интегральное представление функции ...
Альтернативным методом нахождения функции 
является выражение ее с помощью фурье-интеграла через характеристическую функцию (Mehta and Sudarshan, 1965). Излагаемый ниже подход принадлежит Мета (Mehta, 1967). Предположим, что 
можно записать в диагональном виде (11.8.1) и умножим обе части выражения на вектор когерентного состояния 
слева и на вектор когерентного состояния 
справа, где 
некоторое комплексное число. Тогда получим
С учетом выражения (11.6.1) для скалярного произведения двух когерентных состояний данное выражение принимает вид
Формула (11.8.10) выражает 
в виде фурье-преобразования от 
поскольку ядро 
есть как раз ядро двумерного преобразования Фурье. Возможно, это станет более очевидным, если записать 
так что 
Если теперь формально обратить фурье-преобразование в (11.8.10), не уделяя слишком много внимания вопросам сходимости, то получим
Таким образом, мы формально решили задачу определения весовой функции 
для заданного оператора плотности 
Однако, наличие в (11.8.11) множителя под знаком интеграла, говорит о возможных математических трудностях, связанных со сходимостью. Если матричный элемент 
не спадает с ростом и при больших и быстрее 
то данный интеграл не существует в смысле теории обычных функций и его можно рассматривать только как обобщенную функцию. Действительно, нетрудно найти примеры состояний, для которых этот интеграл не существует. Однако, интеграл сходится для всех оптических полей, имеющих классический аналог, если не считать возможную 
-сингулярность, ибо в этих случаях 
является плотностью вероятности. Другое интегральное представление 
будет дано в следующем параграфе [см. (11.9.12)].
Если 
не существует как обычная функция, ее можно рассматривать как обобщенную функцию, которая определяется выражением (11.8.11). Легко показать, что матричный элемент 
существует и ограничен единицей. Действительно, оператор плотности всегда можно выразить в виде линейной комбинации операторов проектирования следующим образом
где 
действительны и неотрицательны и 
так что
Более того, 
следовательно, 
можно дифференцировать произвольное число раз по 
. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данный интегральный метод определения весовой функции 
