3.1.2. Квази-монохроматические сигналы и их огибающие

Покажем, что аналитический сигнал дает недвусмысленное определение для огибающей действительного осциллирующего сигнала.

На практике часто сталкиваются с действительными сигналами, фурье-образы которых (фурье-спект-ры) заключены в частотном интервале

в окрестности частоты где

Другими словами, если представить в виде интеграла Фурье то равна нулю за пределами области, определенной неравенствами (3.1.24) (см. рис. 3.2). Говорят, что такой сигнал является квази-монохроматическим.

Рис. 3.2. Пример: а — спектра Фурье квазимонохроматического сигнала и б - соответствующего ему аналитического сигнала Показаны только абсолютные значения спектра Фурье

Согласно формулам (3.1.4) и (3.1.4а) аналитический сигнал, связанный с можно выразить в виде

где

Для квази-монохроматического сигнала, спектральное распределение амплитуды которого показано на рис. 3.2а, будет иметь форму, изображенную на рис. 3.26.

Если бы сигнал был строго монохроматическим с частотой то имели бы

где действительные константы, причем

Очевидно, в этом случае спектр Фурье от

где 5 означает дельта-функцию Дирака, а аналитический сигнал, связанный с монохроматическим сигналом (3.1.28), равен

Если вместо строго монохроматического сигнал является квази-монохроматическим, со спектром Фурье, занимающим малую частотную область, заданную неравенствами (3.1.24), то можно представить сигнал в виде уравнения, схожего с (3.1.28с), а именно

где «амплитуда» А и «фаза» больше не являются константами и представляют собой функции времени. Несмотря на то, что представление (3.1.32) часто записывают в таком виде, очевидно, что оно не является единственным, ибо существует много способов выбора двух функций так чтобы правая часть уравнения (3.1.32) была равна Однако можно однозначно определить (удовлетворяя условию если потребовать, чтобы аналитический сигнал связанный с был задан в виде представления, аналогичного (3.1.31), а именно

Согласно соотношению (3.1.13а) имеем

и согласно выражениям (3.1.33) и (3.1.12)

Если функция известна, то можно определить из (3.1.34), и тогда из формул (3.1.32), (3.1.35) и (3.1.33) получим

где

Из (3.1.36а) видно, что не зависит от точного выбора частоты и выражения (3.1.366) и (3.1.36в) означают, что зависит от только через положительный множитель

Рассмотрим более внимательно поведение и Согласно формулам (3.1.33) и (3.1.26)

Если положить

и вспомнить, что согласно при то уравнение (3.1.37) означает, что

где

Таким образом, функция имеет тот же вид, что и но смещена на величину в отрицательном направлении (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Абсолютное значение смещенного фурье-спектра

Поскольку спектральные амплитуды имеют отличные от нуля значения только в области, определяемой неравенствами (3.1.24), будет иметь ненулевые значения только для в области

То есть интеграл в правой части (3.1.39) содержит только низко-частотные компоненты. Более того, ввиду предположения о квази-монохроматичности [см. неравенство (3.1.24)], из уравнения (3.1.37) следует, что будут изменяться более медленно со временем чем Фактически будут постоянными на любом временном интервале, для которого член в экспоненте в (3.1.39) мал по сравнению с т.е. на любом интервале длительности

Рис. 3.4. Поведение квази-монохроматического сигнала и его действительной огибающей

Таким образом, два действительных сигнала, определяемых выражениями (3.1.32) и (3.1.35), представляют собой почти периодические функции от с частотой промодулированные по амплитуде и фазе медленно меняющимися функциями и Модуляция становится пренебрежимо малой на любом временном интервале, который значительно меньше ширины (см. рис. 3.4). Следовательно, из (3.1.32), (3.1.35) и (3.1.33) вытекают следующие соотношения:

где волнистыми линиями обозначено усреднение по короткому временному интервалу, т.е. среднее на интервале, длительность которого меньше, чем но больше

Так как остаются постоянными на любом временном интервале, который много меньше то из (3.1.32) и (3.1.35) следует, что

а также что

Из рис. 3.4 и формулы (3.1.33) очевидно, что функцию

можно рассматривать как представление комплексной огибающей действительного квази-монохроматического сигнала Огибающая медленно изменяется с течением временем по сравнению с периодическим множителем.

Существует несколько интересных теорем относительно огибающей, которую мы только что определили. Предположим, что действительный сигнал строго ограничен в частотной области т.е. фурье-спектр сигнала равен нулю за пределами этой области. Теперь рассмотрим фурье-спектр квадрата амплитуды комплексной огибающей Она определяется формулой

или, с учетом (3.1.4) и теоремы свертки для преобразования Фурье,

Рис. 3.5. К выводу теоремы Дугунди. Если сигнал ограничен в области то его квадрат амплитуды должен быть ограничен в области Член спектр Фурье от спектр Фурье от

Так как стремится к нулю за пределами области, определяемой соотношением (3.1.24), то из (3.1.48) следует, что будет стремиться к нулю при Таким образом, мы доказали следующую теорему Дугунди (Dugundji, 1958), которая иллюстрируется на рис. 3.5: если сигнал строго ограничен в области то квадрат амплитуды его комплексной огибающей ограничен областью

Как мы уже отмечали, представление огибающей (3.1.32) действительного квази-монохроматическо-го сигнала не является единственным. Поэтому возникает вопрос относительно свойств, которые отличают определение, основанное на аналитическом сигнале, от других возможных определений. Мандель (Mandel, 1967) ответил на этот вопрос в рамках стационарных ансамблей действительных, квази-монохроматических сигналов. Его результат можно сформулировать следующим образом. Предположим, что с каждым членом ансамбля мы связываем другой сигнал который представляет собой линейное преобразование сигнала с действительным ядром

Теперь определим комплексную функцию

и положим

Тогда среднее

будет иметь минимум при условии для среднего квадратичного отклонения

где

представляет собой спектр мощности (см. разд. 2.4.1) для так что минимум достигается, когда ядро преобразования (3.1.49) становится ядром преобразования Гильберта, т.е. когда аналитический сигнал, связанный с действительным сигналом Этот результат означает, что из всех возможных огибающих, определенных через линейные преобразования действительного сигнала, только одна огибающая, определенная на основе аналитического сигнала, имеет в среднеквадратичном смысле наименьшую скорость флуктуаций комплексной огибающей.