18.4.1. Основное кинетическое уравнение для лазерного поля

Для того, чтобы определить влияние одного возбужденного атома на поле лазера предположим, что начальное состояние атома есть верхнее состояние

и допустим, что взаимодействие продолжается в течение времени, которое того же порядка, что и время жизни верхнего состояния. Предположим, как отмечено на рис. 18.16, что два рабочих уровня

имеют средние времена жизни соответственно. Влияние ансамбля таких возбужденных атомов на поле можно рассчитать, по крайней мере, приближенно, выбирая в разложении равным времени жизни атома (в возбужденном состоянии) и усредняя по с экспоненциальным распределением вероятности для среднего значения как в разд. 18.2. Конечно, более реалистично было бы предположить, что населенность возбужденного состояния распадается по экспоненциальному закону непрерывно во времени, как это сделано в методе Вайскопфа-Вигнера, которым воспользовались Скалли и Лэмб (Scally and Lamb, 1967, 1969, 1970) (см. также Sargent, Scully and Lamb, 1974, гл. 17). Однако, метод теории возмущений приводит к значительному упрощению задачи и, по существу, к тому же решению (Scully, 1969), сохраняя, кроме того, связь с полуклассическим рассмотрением, сделанным ранее в разд. 18.2. Более того, мы ограничимся, как и прежде, первыми двумя ненулевыми членами в разложении (18.4.6).

Рис. 18.16. Схема энергетических уровней рабочей частицы лазера

Подставим теперь (18.4.3) и (18.4.5) в (18.4.6). Сразу ясно, что если время жизни очень большое по сравнению с оптическим периодом то члены, содержащие в выражении (18.4.3), дают при интегрировании нуль и ими можно пренебречь. С другой стороны, вклад членов, содержащих зависит от величины расстройки Для простоты предположим, что расстройка настолько мала, что

Это позволяет совсем пренебречь осциллирующими множителями и рассматривать под знаком интеграла в формуле (18.4.6), как независимую от времени величину. В результате приходим к уравнению

Таким образом, задача сводится к вычислению коммутаторов все более высокого порядка.

Последние легко вычисляются с помощью соотношений (15.1.4) и (15.1.5). В результате, находим

где учтено, что атомные и полевые операторы коммутируют в один и тот же момент времени, и что операторы представляют собой понижающий и повышающий операторы, соответственно. Поскольку след операторов равен нулю, то из (18.4.9) непосредственно следует, что

так что первый член под знаком следа в разложении (18.4.8) обращается в нуль. Теперь с помощью (18.4.9) вычисляем коммутатор второго порядка и находим, что

Поскольку , следовательно, имеем

что, очевидно, представляет собой первый неисчезающий член в разложении по теории возмущений. Этот член имеет второй порядок по амплитуде поля. Подобным же образом легко находим, что

Данное выражение снова обращается в нуль под знаком следа, тогда как

что приводит к следующему выражению

Окончательно, после усреднения по времени жизни с экспоненциальным распределением вероятности

мы получаем из (18.4.8), с помощью (18.4.12) и (18.4.15), следующее выражение

для среднего изменения состояния лазерного поля, вызванного взаимодействием с одним атомом в точке с радиус-вектором Как и в полуклассическом подходе, изложенном в разд. 18.2, вычисление было проведено до второго неисчезающего члена в разложении по теории возмущений. Первое слагаемое в (18.4.16) соответствует испусканию возбужденным атомом одного фотона, тогда как второе описывает вклад двух циклов: испускания и повторного возбуждения атома.

Реальный лазер, естественно, содержит много возбужденных атомов или молекул, распределенных в активной среде, которые постоянно переводятся в возбужденное состояние при помощи некоторого механизма накачки со скоростью Вклад любого из них в изменение следовательно, мал, и если атомное поле эволюционирует медленно, то изменение из выражения (18.4.16) можно рассматривать как бесконечно малое. Умножая на и усредняя по радиус-вектору получаем среднюю скорость изменения оператора плотности лазерного поля, вызванного накачкой или механизмом усиления, при условии, что состояние поля меняется намного медленнее, чем состояние каждого атома. Результат имеет вид

Здесь, как и раньше, плотность активных атомов, их общее число и интеграл берется по внутреннему объему резонатора, как в формуле (18.2.9). Полученная таким образом средняя скорость изменения поля иногда называется крупнозернистой производной. Существенной особенностью вывода является то, что состояние лазерного поля изменяется намного медленнее, чем состояние атома, так что оно остается практически неизменным в течение среднего времени взаимодействия с атомом. Это предположение, которое хорошо подтверждается на практике для так называемых «хороших» резонаторов, позволяет нам осуществить адиабатическое исключение атомных переменных из уравнения движения для поля. Необходимо подчеркнуть, что хотя мы вычисляли вклады атомов, рассматривая их по отдельности, тем не менее взаимодействие атомов посредством лазерного поля учтено неявно.

До сих пор наша модель лазера не содержала никакого механизма затухания, позволяющего вычислить потери фотонов в резонаторе. В полуклассической лэмбовской теории лазера, приведенной в разд. 18.2, потери вводились искусственным образом, когда активная среда считалась слабо проводящей или рассеивающей. В полностью квантовой теории опять необходима некоторая уловка, поскольку фотоны могут исчезать только через их взаимодействие с другой квантовой системой. Вследствие этого мы введем множество резонаторов теплового резервуара, представляющих собой «атомы» с такой же структурой энергетических уровней, как на рис. 18.16, находящиеся первоначально в нижнем состоянии Назначение этих

«атомов» состоит в поглощении фотонов лазерного поля со скоростью, пропорциональной интенсивности света, но без переизлучения.

Мы можем вычислить влияние одного атома теплового резервуара, находящегося в нижнем состоянии, тем же методом, который использовался при выводе (18.4.16), если не считать того, что выражение (18.4.7) для начального атомного состояния заменяется следующим а разложение по теории возмущений обрывается на первом неисчезающем члене. Последнее гарантирует, что потери будут пропорциональны интенсивности лазера, и что переизлучение атома теплового резервуара будет отсутствовать. Если есть время жизни состояния в течение которого продолжается взаимодействие, то для изменения состояния поля, вызванного атомом теплового резервуара в точке с радиус-вектором получим вместо (18.4.16) следующее выражение

Если данное выражение умножить на скорость с которой атомы теплового резервуара приводятся в состояние то получим среднюю скорость изменения при условии, что состояние поля меняется намного медленнее, чем состояние атомов. Далее усредняем по радиус-вектору полагая, что атомов теплового резервуара распределены с некоторой плотностью Это приводит к уравнению

где скорость изменения опять представляет собой крупнозернистую производную. Несмотря на нефизическую природу нашей модели затухания, получаемый эффект хорошо соответствует действию реальных механизмов потерь, поскольку он выражается в поглощении фотонов.

Наконец, мы объединим эффекты усиления и потерь, складывая вклады, описываемые выражениями (18.4.17) и (18.4.19). Это приводит к следующему основному кинетическому уравнению для оператора плотности лазерного поля:

где введены сокращения

для коэффициентов, характеризующих усиление, потери и нелинейность или насыщение лазера, соответственно. Фактически, скорость потерь можно отождествить с реальной скоростью потери фотонов в резонаторе лазера, которая определяется, главным образом, коэффициентами отражения зеркал. Более того, обычно скорости усиления А и потерь С соизмеримы, даже значительно выше или значительно ниже порога. С другой стороны, отношение В к А, как правило, чрезвычайно мало. Оно определяется соотношением

где безразмерный множитель порядка единицы. Мы можем сделать грубую численную оценку величины выражая через коэффициент Эйнштейна для атомного перехода из состояния в состояние задаваемый формулой (15.4.11). В результате получим

Подставляя типичные для лазеров значения получаем

Как правило, чем меньше коэффициент насыщения В, тем сильнее будет лазерное поле в резонаторе, необходимое для достижения стационарного состояния.