4.5.3. Когерентный свет в пространственно-частотной области

Начнем с условия неотрицательности, которому удовлетворяет спектральная степень когерентности

справедливого для любого целого положительного числа любых наборов точек и любого набора действительных или комплексных постоянных Это неравенство непосредственно следует из (4.3.44) и (4.3.47).

Пусть три произвольных точки области в которой заключено оптическое поле. При условие (4.5.58) дает

где мы ввели следующее обозначение:

Согласно (4.3.43) и (4.3.47) спектральная степень когерентности является эрмитовой, т.е.

Кроме того, из определения (4.3.37) мы видим, что

Тогда неравенство (4.5.59) можно переписать следующим образом:

Вычисляя детерминант, получим неравенство

где обозначает действительную часть.

Предположим теперь, что поле пространственно полностью когерентно в объеме на некоторой частоте т.е.

для всех Тогда, в частности, и неравенство (4.5.64) сводится к

где частотный аргумент функций равен Исходя из нашего предположения (4.5.65), функция имеет вид

где действительная функция. В силу соотношения эрмитовости (4.5.61) мы также можем записать

С учетом (4.5.67) и (4.5.68) неравенство (4.5.66) сводится к

Поскольку не превышает единицы для действительных значений в и равен единице при где произвольное целое число, из неравенства (4.5.69) следует, что

где целое число. Начало координат в области может быть выбрано таким образом, что Тогда из (4.5.70) мы получим соотношение

где .

Из выражений (4.5.67) и (4.5.71) следует, что спектральная степень когерентности должна иметь вид

Таким образом, полученный нами результат можно сформулировать так: если поле пространственно полностью когерентно в объеме на некоторой частоте т.е. для всех то спектральная степень когерентности должна иметь вид, определяемый выражением где — действительная функция радиус-вектора. Из определения спектральной степени когерентности (4.3.47) следует, что в этом случае взаимная спектральная плотность на частоте приобретает факториз о ванный вид

где

спектральная плотность на частоте в точке фазовый множитель.

Если область представляет собой свободное пространство, то взаимная спектральная плотность удовлетворяет двум уравнениям Гельмгольца Подставляя (4.5.73) в эти уравнения, получим, что функция в свою очередь, также должна удовлетворять уравнению Гельмгольца

где

До сих пор мы рассматривали поле, которое является полностью когерентным в объеме на некоторой определенной частоте Предположим теперь, что поле полностью когерентно в объеме на всех Тогда, исходя из вышесказанного, взаимная спектральная плотность на каждой частоте этого поля имеет факторизованный вид (4.5.73). Напомним, что функция взаимной когерентности и взаимная спектральная плотность образуют пару относительно преобразования Фурье. И, следовательно, функция взаимной когерентности поля, которое является полностью когерентным на всех частотах, должна иметь вид

Заметим, что функция взаимной когерентности вида (4.5.77), в общем случае, не является периодической по Следовательно, поле, которому она соответствует, будет иметь спектральную плотность

ненулевой ширины. Таким образом, полная когерентность в пространственно-частотной области представляет собой, по-видимому, более реалистическое понятие, чем полная когерентность в пространственно-временной области.

Полностью когерентное в пространственно-частотной области поле имеет место, например, в резонаторе одномодового лазера, как показано в разд. 7.4. Однако, это поле не является полностью когерентным в пространственно-временной области.