2.5.2. Предел ... другой подход к теореме Винера — Хинчина

Предположим, что случайный процесс с нулевым средним является стационарным, по крайней мере, в широком смысле, так что его автокорреляционная функция задается в виде

Для этого случая рассмотрим предельную форму разложения Карунена — Луева при и покажем, что она приводит к теореме Винера — Хинчина.

По аналогии со многими задачами на собственные значения, можно ожидать, что в пределе спектр интегрального оператора будет непрерывным, а не дискретным. Например, задача на собственные значения, связанная с гармоническим осциллятором, на конечном интервале приводит к ряду Фурье, тогда как на бесконечном интервале она приводит к интегралу Фурье. Однако вместо представления в виде ряда (2.5.5), можно ожидать интегральное представление в виде

и вместо уравнений (2.5.3) и (2.5.4) будем иметь условия ортогональности вида

где дельта-функция Дирака. Попытаемся определить функции и) и которые подчиняются этим условиям.

Продолжая так же, как в случае конечного предположим, что представление вида (2.5.13) существует и подчиняется требованиям (2.5.14) и (2.5.15). Тогда

и, следовательно, с учетом (2.5.15),

Умножим обе части уравнения на и проинтегрируем по в области от до Тогда после перегруппировки членов в правой части, найдем, что

Это означает, что

Последнее выражение непосредственно следует из уравнения (2.5.14). Соотношение (2.5.17) соответствует интегральному уравнению (2.5.6), полученному для случая, когда временной интервал является конечным, а процесс не обязательно является стационарным.

Если предположенное представление (2.5.13) справедливо, то функции должны быть собственными функциями, собственными значениями интегрального уравнения (2.5.17). Мы должны, следовательно, рассмотреть вопрос: существует ли нетривиальные решения этого уравнения? Сделаем это при помощи метода преобразования Фурье. Представим автокорреляционную функцию и собственные функции если они существуют, в виде интегралов Фурье:

Тогда, используя теорему свертки для преобразования Фурье, из уравнения (2.5.17) получим соотношение

Если обе части этого выражения сократить на общий множитель [который не может быть равен тождественно нулю при условии, что нетривиальное собственное решение уравнения (2.5.17) существует], то мы придем к заключению, что которое является неверным, если не постоянно. Таким образом, заключаем, что уравнение (2.5.20) не допускает решений для которые являются обычными функциями. Однако нетрудно видеть, что уравнение имеет сингулярные решения. Этот результат можно строго доказать на основе теории обобщенных функций. Таким образом, повсюду в этой книге мы избегаем использования теории обобщенных функций и вместо этого формально используем дельта-функцию Дирака. Сингулярные решения уравнения (2.5.20) можно записать в виде

Эти решения должны пониматься в том смысле, что подставив их в уравнение (2.5.20), умножив обе части уравнения на произвольную тестовую функцию и проинтегрировав их по от до мы получим непротиворечивый результат.

Рассмотрим теперь смысл таких сингулярных решений. Из (2.5.21) и (2.5.22) следует, что собственные функции интегрального уравнения (2.5.17) являются функциями

т.е. являются гармоническими функциями, независимо от природы автокорреляционной функции случайного процесса. Тогда ортогональное представление (2.5.13) принимает вид

что представляет собой интегральное представление фурье-процесса Из сказанного выше ясно, что это уравнение следует интерпретировать в смысле теории обобщенных функций. Более того, согласно (2.5.15) и (2.5.22)

Таким образом, мы фактически нашли предельную форму разложения Карунена — Луева для случайного процесса, который является стационарным, по крайней мере, в широком смысле.

Сравнивая выражения (2.5.24) и (2.5.25) с выражениями (2.4.1а) и (2.4.14), мы видим, что собственное значение интегрального уравнения (2.5.17) представляет собой спектральную плотность случайного процесса Более того, из (2.5.18) следует, что суть фурье-преобразование автокорреляционной функции Такое заключение есть ни что иное, как формулировка теоремы Винера — Хинчина (см. разд. 2.4.1), которая была получена здесь на основе разложения Карунена — Луева стационарного случайного процесса в пределе Более того, видно, что это разложение на бесконечном интервале представляет собой обобщенное интегральное представление Фурье