13.1.5. Диагональное представление p по когерентным состояниям
Хотя мы и нашли, что оператор плотности 
поля излучения черного тела диагонален в фоковском представлении, напомним, что согласно разд. 11.8 тот же оператор плотности можно привести к диагональному виду и в представлении по когерентным состояниям. Учитывая полезные свойства данного представления, обратимся теперь к задаче выражения 
в базисе когерентных состояний.
В разд. 11.8 были рассмотрены некоторые общие методы нахождения весовой функции диагонального представления 
для одномодового оптического поля. В частности, согласно формуле 
можно получить путем обратного преобразования Фурье матричного элемента 
где — комплексное число, а 
— когерентные состояния. Обобщая очевидным образом на случай многомодового поля, получаем следующее интегральное представление оператора плотности
где весовой функционал имеет вид
Для вычисления матричного элемента воспользуемся выражениями (13.1.5) и (13.1.10), в результате чего найдем
где использовано выражение (11.2.11) для скалярного произведения фоковского и когерентного состояний. Подставляя теперь (13.1.19) в интеграл (13.1.186), получаем формулу
Данный интеграл является характеристической функцией (или двумерным фурье-образом) комплексной гауссовской случайной переменной 
и согласно разд. 1.5.5 после интегрирования будем иметь
Среднее число заполнения 
конечно, задается выражением (13.1.8). Следовательно, весовой функционал является просто произведением гауссовских функций от комплексных переменных 
Выражение (13.1.20) есть еще одна замечательная иллюстрация удобства диагонального представления по когерентным состояниям, ибо состояния 
являются собственными состояниями некоммутирующих операторов, хотя 
диагонален как в базисе 
так и в базисе и имеет регулярные представления в каждом из них.
Стоит также отметить, что, будучи регулярной функцией в математическом смысле, 
имеет такой же вид, как и функционал вероятности, который использовался бы для классического описания поля излучения черного тела. Согласно центральной предельной теореме, поскольку вклад в полное поле и в возбуждение каждой моды дают много независимых излучателей, то следует ожидать, что распределение комплексной амплитуды 
каждой моды является гауссовским. При известном спектральном распределении, излучение черного тела будет иметь хорошее классическое описание, какими бы малыми не были числа заполнения фотонов, несмотря на то, что оператор 
диагонален в базисе неклассических фоковских состояний.
