11.10.2. Упорядочение операторов
Начнем с того, что введем упорядоченную операторную дельта-функцию, которая играет основную роль в дальнейшем изложении. Двумерный фурье-интеграл
можно отождествить с дельта-функцией 
где операторы 
находятся в симметричном или вейлевском порядке 
в силу того, что разложение в степенной ряд порождает операторные произведения в симметричном порядке. С другой стороны, как мы видели в разд. 11.9.1 при обсуждении характеристических функций различных упорядочений, имеются соотношения
Таким образом, для 
-упорядоченной дельта-функции можно записать в более общем виде, что
исходя из предположения, что 
означает вейлевский порядок 
когда 
означает нормальный порядок 
когда 
означает антинормальный порядок 
когда 
Другие упорядочения операторов, ассоциированные с различными 
были определены
Агарвалом и Вольфом (Agarwal and Wolf, 1968, 1970а, b, с), но мы не будем их здесь рассматривать. Говорят, что порядок 
является обратным по отношению к 
если 
Таким образом, нормальный и антинормальный порядки являются обратными друг другу, а вейлевский порядок является обратным самому себе.
Некоторые свойства операторных 
-функций сразу следуют из определения, если вспомнить оператор смещения 
и его свойства, рассмотренные в разд. 11.3.1. Например, из (11.10.3) найдем
и, аналогично,
Также
Можно использовать упорядоченную операторную 
-функцию для того, чтобы привести произвольный оператор 
в порядок 
Рассмотрим интеграл
и воспользуемся (11.10.3) и (11.10.4). В результате получим
Таким образом, преобразование оператора А, представленное интегралом в левой части, воспроизводит А, но в 
-упорядоченном виде. Аналогично, если 
есть два оператора, то используя (11.10.3) и (11.10.5), тем же способом найдем, что
