11.10.2. Упорядочение операторов

Начнем с того, что введем упорядоченную операторную дельта-функцию, которая играет основную роль в дальнейшем изложении. Двумерный фурье-интеграл

можно отождествить с дельта-функцией где операторы находятся в симметричном или вейлевском порядке в силу того, что разложение в степенной ряд порождает операторные произведения в симметричном порядке. С другой стороны, как мы видели в разд. 11.9.1 при обсуждении характеристических функций различных упорядочений, имеются соотношения

Таким образом, для -упорядоченной дельта-функции можно записать в более общем виде, что

исходя из предположения, что означает вейлевский порядок когда означает нормальный порядок когда означает антинормальный порядок когда Другие упорядочения операторов, ассоциированные с различными были определены

Агарвалом и Вольфом (Agarwal and Wolf, 1968, 1970а, b, с), но мы не будем их здесь рассматривать. Говорят, что порядок является обратным по отношению к если Таким образом, нормальный и антинормальный порядки являются обратными друг другу, а вейлевский порядок является обратным самому себе.

Некоторые свойства операторных -функций сразу следуют из определения, если вспомнить оператор смещения и его свойства, рассмотренные в разд. 11.3.1. Например, из (11.10.3) найдем

и, аналогично,

Также

Можно использовать упорядоченную операторную -функцию для того, чтобы привести произвольный оператор в порядок Рассмотрим интеграл

и воспользуемся (11.10.3) и (11.10.4). В результате получим

Таким образом, преобразование оператора А, представленное интегралом в левой части, воспроизводит А, но в -упорядоченном виде. Аналогично, если есть два оператора, то используя (11.10.3) и (11.10.5), тем же способом найдем, что