2.6.4. Марковский процесс высшего порядка

Следующий этап в классификации случайных процессов имеет место в случае, когда условная плотность вероятности зависит только от двух последних значений т.е.

Такой процесс известен как марковский процесс второго порядка. При помощи тех же рассуждений, которые привели к формуле (2.6.7), из (2.6.9) находим

так что все плотности совместной вероятности высших порядков определяются на основе Отсюда получаем следующее обобщение соотношения Смолуховского — Чапмана — Колмогорова (2.6.8):

Ясно, что продолжая подобным образом, можно ввести иерархию марковских процессов высших порядков. Марковский процесс третьего порядка был бы процессом, в котором эволюция случайного процесса определяется тремя самыми последними значениями и все совместные плотности вероятности четвертого

и высших порядков выражаются через Существенным обстоятельством в марковском процессе любого порядка является то, что память о прошлой истории процесса определенно сохраняется, но со временем исчезает.

Наконец, существуют случайные процессы, временная эволюция которых зависит от всей их истории. В этом случае плотность вероятности перехода ограниченного порядка не может полностью описать эволюцию.