10.7.3. Оператор фазы на основе проекционного оператора на фазовые состояния

Некоммутативность и отсутствие ясной, интуитивной интерпретации их собственных состояний привели к тому, что ряд исследователей занялись изучением других возможных форм оператора фазы (Lerner, 1968; Zak, 1969; Turski, 1972; Paul, 1974; Schubert and Vogel, 1978; Barnett and Pegg, 1986, 1989; Sanders, Barnett and Knight, 1986; Lynch, 1986, 1987; Pegg and Barnett, 1988, 1989; Shapiro, Shepard and Wong, 1989; Schleich, Horowicz and Varro, 1989; Bandilla, Paul and Ritze, 1991; Vogel and Schleich, 1991; Noh, Fougeres and Mandel, 1991, 1992a, b). В частности, Пегг и Барнетт (Pegg and Barnett, 1988) попытались построить эрмитов оператор фазы, основанный на состоянии с определенной фазой в в усеченном гильбертовом пространстве, а именно, в -размерном подпространстве фоковского пространства. Состояние определенное разложением по фоковским состояниям

в некоторых отношениях ведет себя как состояние с определенной фазой в при условии, что велико. Напомним, что если состояние свободного поля в картине Шредингера в момент времени есть то в момент времени

Возьмем в качестве начального состояния состояние заданное выражением (10.7.20). Тогда при получим

Далее естественно попытаться ввести эрмитов оператор фазы через проекционные операторы типа Однако, строго говоря, предел в выражении (10.7.20) не существует, и состояние в пределе ненормируемо. Различные фазовые состояния неортогональны и образуют переполненное множество.

Пегг и Барнетт (Pegg and Barnett, 1988) преодолели проблему переполненности, вводя дискретное, ортонормированное и полное множество фазовых состояний

где — произвольная фиксированная опорная фаза. Из определения легко находим

что и требовалось доказать. Они попытались преодолеть проблему предела, оперируя конечными и полагая только тогда, когда средние значения уже вычислены. Исходя из этого, они рассматривают физически осуществимые состояния, числа заполнения фотонов которых ограничены и не превышают Оператор фазы в таком случае имеет вид

Очевидно, что состояния являются собственными состояниями оператора с собственными значениями

Распределение вероятности дискретного фазового угла можно получить с помощью оператора плотности записав

с нормировкой другой стороны, можно построить непрерывную плотность вероятности выраженную через непрерывные фазовые состояния записав

которая нормирована таким образом, что Результаты вычислений, основанных на операторе фазы в некоторых случаях согласуются с результатами, полученными в работе (Susskind and Glogower, 1964).