18.4. Квантовая теория лазера

Как мы увидели, полуклассическая теория лазера приводит к детерминированному уравнению движения для амплитуды поля, и вопросы, касающиеся ширины линии и флуктуаций, строго говоря, остаются за рамками теории. Флуктуации вносятся на более поздней стадии путем введения ланжевеновских источников шума, что является надуманной процедурой, для которой нелегко найти строгое обоснование, и справедливость которой, в значительной степени, оправдана согласованностью с другими подходами. Квантово-полевой подход служит более последовательной основой для теории лазера. Кроме того, он позволяет ответить на некоторые вопросы, которые, вообще, бессмысленны в рамках полуклассической теории, например, сколько фотонов имеется в резонаторе на пороге и каково их распределение вероятностей.

Лазер рассматривался полностью квантово-механически несколькими авторами (Haken and Sauermann, 1963а, b; Haken 1964, 1970; см. также Lax and Louisell, 1967). Далее мы будем широко использовать подход, развитый Скалли и Лэмбом (Scully and Lamb, 1967, 1969, 1970; Sargen, Scully and Lamb, 1974). Однако, для простоты, мы заменим использованную ими процедуру Вайскопа — Вигнера на более простую, которая приводит по существу к той же динамике, но к немного другим коэффициентам (Scully, 1969). Мы сделаем другие упрощающие предположения, проводя параллели с приведенной выше полу классической теорией. Например, мы пренебрежем любым движением или неоднородным уширением атомных систем и возьмем резонатор, резонансная частота которого очень близка к частоте атомного перехода

Рассмотрим опять множество одинаковых двухуровневых атомов или атомных диполей, расположенных в различных точках лазерного резонатора и взаимодействующих с полем одной моды резонатора. Если населенности атомов инвертированы, то взаимодействие между атомами и полем может привести к росту со временем числа фотонов в резонаторе. Рассмотрим, для начала, влияние одного возбужденного атома на состояние лазерного поля.

Гамильтониан полной системы, состоящей из одномодового электромагнитного поля частоты и двухуровневого атома с частотой резонансного перехода находящегося в точке с радиусом-вектором

можно записать в виде [ср. (15.3.1)]

Здесь средняя энергия двух рабочих уровней, матричный элемент оператора дипольного момента перехода атома, который будет считаться действительным, как в случае перехода как обычно, оператор числа фотонов. Далее будет удобно работать в картине взаимодействия (ср. разд. 14.1), в которой атомные понижающие и повышающие операторы изменяются со временем согласно формулам

где начальный момент времени, с которого начинается эволюция. Одномодовое электрическое поле в картине взаимодействия выражается тогда в виде

где и нормированная модовая функция резонатора, которая обсуждалась в разд. 18.2; V — объем резонатора и действительный единичный вектор поляризации, представляющий линейно-поляризованную волну. Слагаемое, описывающее взаимодействия в (18.4.1), принимает вид

Мы скрыли временные аргументы в операторах , подразумевая, что по умолчанию они всегда равны и определили

Здесь есть константа, характеризующая эффективность взаимодействия.

Предположим, что в момент когда взаимодействие выключено, состояние полной системы факторизуется, так что оператор плотности записывается в виде

где приведенные операторы плотности атома и поля, соответственно. Результатом взаимодействия является изменение во времени оператора в картине взаимодействия, и его вид в момент задается разложением (14.1.11). Вычисляя след по атомным переменным, мы можем выразить влияние взаимодействия на состояние лазерного поля в момент времени в виде