19.2. Стационарное решение

Нетрудно найти стационарное решение уравнения Фоккера — Планка (19.1.17). В стационарном состоянии левая часть обращается в нуль, и уравнение можно записать в виде

где

Вектор есть четырехмерная плотность тока вероятности, которая обращается в нуль, когда вектор дрейфа А удовлетворяет условию (называемому условием потенциальности) (Stratonovich, 1963, гл. 4)

и можно легко доказать, что компоненты, определяемые формулой (19.1.19), удовлетворяют этому условию. Тогда, вектор дрейфа А выражается в виде градиента скалярной потенциальной функции

Интегрируя это уравнение, например вдоль прямой, проведенной из начала системы координат в точку х, получаем с точностью до аддитивной постоянной (M-Tehrani and Mandel, 1977, 1978а, b; Singh and Mandel, 1979), что

Наконец, приравнивая плотность тока вероятности к нулю и интегрируя дифференциальное уравнение, находим для плотности вероятности в стационарном состоянии следующее выражение:

где В — нормировочный множитель. Очевидно, что играет ту же роль, что и потенциал в разд. 18.3. Здесь удобно ввести интенсивности и 12 двух лазерных мод, задаваемые выражением

поскольку потенциал полностью выражается через и в виде

Фазы двух мод в стационарном решении отсутствуют, так что они должны быть абсолютно случайными. Из (19.2.5) получаем для совместной плотности вероятности интенсивностей двух мод в стационарном состоянии следующее выражение:

Постоянная определяется из условия нормировки и равна

Мы скоро увидим, что К играет роль производящей функции для моментов и 12.

Можно сразу установить некоторые предельные формы Например, если лазер работает существенно ниже порога, так что два параметра накачки имеют большие отрицательные значения, то только очень маленькие интенсивности света имеют значительную вероятность. В этом случае выражение (19.2.8) сводится к

т.е. принимает вид произведения двух экспоненциальных распределений как для двух независимых, поляризованных, тепловых пучков света [ср. (13.3.7)]. С другой стороны, при существенном превышении порога, когда оба имеют большие положительные значения, и когда выражение для 12)

сводится приближенно к гауссовскому распределению двух переменных Однако, ситуация становится намного сложнее, когда константа связи превышает единицу.

Мы можем проинтегрировать совместную плотность вероятности по одной переменной, скажем, по чтобы получить плотность вероятности интенсивности другой моды. Из (19.2.8) легко находим (Singh and Mandel, 1979; см. также Singh, 1981), что

Это распределение вероятности имеет различный вид при и при что соответствует совершенно различным типам поведения кольцевого лазера.