14.1.3. Многополюсный гамильтониан

Иногда, при рассмотрении взаимодействия между электроном атома и полем, помимо гамильтониана в форме минимального взаимодействия, определяемого выражением (14.1.16) или (14.1.17), представляется удобным использовать другую его форму, — так называемый многополюсный гамильтониан (Lamb, 1952; Power and Zienau, 1959). Эту форму можно вывести из (14.1.16) с помощью унитарного преобразования (Ackerhalt and Milonni, 1984; главным образом, мы следуем их рассуждениям; также см. Milonni, Cook and Ackerhalt, 1989),

где можно считать, например, что задает координаты атомного ядра. Новые операторы, получающиеся после преобразования будем отмечать с помощью верхнего индекса Очевидно, что

где последнее выражение получается в силу того, что коммутирует с Однако при унитарном преобразовании изменяются как импульс так и электрическое поле С помощью теоремы об операторном разложении (10.11.1), получаем, если воспользоваться коммутационным соотношением (10.8.15), что

где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Теперь учтем, что

представляет собой поперечную поляризацию, создаваемую точечным зарядом как в старых, так и в новых переменных. Отсюда следует, что (14.1.21) можно записать в виде

где вектор поперечного диэлектрического смещения.

Если мы теперь подставим В из (14.1.19), (14.1.20) и (14.1.23) в (14.1.16а), то получим гамильтониан, записанный через новые переменные в виде

Если трактовать первые два члена в новых переменных как члены гамильтониана при отсутствии взаимодействия, то другие два члена представляют взаимодействие. Последний член, как правило, важен только при расчетах смещения уровней, и, если мы пренебрежем им и воспользуемся выражением (14.1.22) для и (14.1.23) для то взаимодействие принимает вид

Так как представляет собой дипольный момент заряда то это выражение часто называется электродипольной формой взаимодействия, выраженной в первоначальных переменных. Однако необходимо подчеркнуть, что «невзаимодействующая» часть полного гамильтониана отличается от соответствующей части в (14.1.16), и поэтому взаимодействие оказалось переопределенным. Оно отличается от более привычного выражения которое иногда используется вместо (14.1.25), на величину добавленного поляризационного члена. Пренебрежение поляризацией может в некоторых случаях привести к несовместимости. Данный вопрос остается предметом дискуссий (Woolley, 1971; Fried, 1973; Kobe, 1978, 1979; Carter and Kelley, 1979; Mandel, 1979; Power and Thirunamachandran, 1980, 1982; Healy, 1980, 1982; Haller, 1982; Ackerhalt and Milonni 1984; Milonni, Cook and Ackerhalt, 1989).

В тех случаях, когда мы имеем дело со связанным электроном, взаимодействующим с осциллирующим электромагнитном полем, для многополюсной формы электромагнитного взаимодействия можно привести гораздо более простой, хотя и приближенный вывод. Сначала отметим, что так называемый «кинетический импульс» электрона, определяемый выражением

можно записать с помощью (14.1.16а) и правила суммирования в виде

Теперь умножим скалярно на и найдем, что

Усредним каждый член по периоду осцилляций. Если и приблизительно находятся в фазе, то это справедливо и для и а также для С другой стороны, остаются расфазированными приблизительно на так что правый член в правой части выражения (14.1.27) имеет среднее значение, близкое к нулю. Следовательно,