17.2.6. Броуновское движение частицы

Маленькая частица, подвешенная в жидкости, испытывает воздействие флуктуационной силы что является следствием многочисленных столкновений с молекулами. Эти столкновения вызывают беспорядочное движение частицы, называемое броуновским движением. В то же время, повторяющиеся удары молекул оказывают сопротивление движению частицы под действием некоторой внешней силы, такой как сила тяжести. Вычислим теперь спектральную плотность флуктуационной силы.

Если в нашем формализме отождествить возмущение с силой то станет ясно, что динамическая переменная в выражении (17.2.11) должна отождествляться со смещением х при одномерном движении. Тогда роль тока выполняет скорость частицы и в области низких частот обобщенный закон Ома (17.2.14) может быть записан в виде

где обобщенное полное сопротивление является чисто активным сопротивлением и действительной величиной. Уравнение (17.2.36) есть не что иное, как закон Стокса, описывающий движение частицы в вязкой жидкости. Для сферической частицы радиуса а сопротивление имеет вид

где коэффициент вязкости. Флуктуационно-диссипационная теорема позволяет сразу записать спектральную плотность флуктуаций силы. Из (17.2.31) и (17.2.37) в области низких частот имеем

и из (17.2.32) получаем для спектральной плотности флуктуаций скорости следующее выражение:

Конечно, спектральные плотности не могут оставаться постоянными на всех частотах. В области высоких частот следует ожидать фазовые сдвиги.